Устройство для решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Союз Советских Социалистических Республик(51) М. Кл, С 22) Заявлено 13,1 присоединением заявки18403 б 5/18-24 осдарствеииыи комитетСовета Министров СССРоо делам изобретенийи открытий 23) Приорит 53) УДК 1,333 88.8) члетень28 1 убликовано 30.07,75. а опубликования описания 16,09.7 2) Авторы изобретен Б. В, Болотов и Н, Я, Искрен Киевский орден50-летия Великой 1) Заявител Ленина политехническии институт тябрьской социалистической революции 4) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 1Предложенное аналоговое вычислительное устройство относится к вычислительной технике и автоматике, а также может быть использовано для решения задач в и-мерном векторном пространстве, в том числе задач линейной алгебры, линейного и нелинейного программирования, определения инвариантов для распознавания образов,Решение указанных задач часто сводится к нахождению максимума (или минимума) линейной или нелинейной функций, зависящих от некоторых переменных, на которые накладываются определенные ограничения. При этом в большинстве случаев точные значения действительных корней уравнений определить невозможно, так как коэффициенты при неизвестных в уравнениях часто являются приближенными числами. В связи с этим возникает задача определения значений корней систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений более простыми техническими средствами. Такими средствами служат аналоговые вычислительные устройства.Известны статические и астатические аналоговые вычислительные устройства для решения систем алгебраических уравнений. Однако они либо медленнодействующие, либо не обладают необходимой устойчивостью.Предложенное аналогое вычислительное устройство имеет преимущества статических и ЩИ М 1 т 1ь ЙЙЧСЯАЙ иА Н И Е (1 479124 астатических систем. Оно выполнено без применения электромеханических интегрирующих устройств и имеет высокое быстродействие.Универсальным методом решения системы 5 линейных алгебраических уравнений являетсяметод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Итерационный метод может с успехом использоваться для решения систем линейных алгебраических уравнений, 10 однако, при этом система уравнений должнабыть приведена к специальному виду. Метод решения систем линейных алгебраических уравнений, основанный на применении определителей (правило Крамера), продуктивный в 15 теоретическом отношении, весьма трудоемокпри решении систем с тремя и большим количеством неизвестных и в вычислительной прак.тике не нашел широкого применения. Много.мерное пространство не реальное, оно являетзо ся математической абстракцией. Линейное либо нелинейное уравнение в двухмерном пространстве определяет соответственно прямую или кривую линию, Каждое линейное уравнение в трехмерном пространстве определяег 25 плоскость, а в и-мерном пространстве - гиперплоскость, которая делит и-мерное пространство на два полупространства, Точки гиперплоскости принадлежат обоим полупространствам.30 Известно устройство для решения систем3алгебраических уравнений, содержащее блок квазианалога для набора параметров решаемой системы, блоки перемещения, блок уравновешивания, блок накапливающих сумматоров и блок управления.Однако такое устройство имеет довольно сложную схему, кроме того, в процессе работы в нем возникают автоколебания, Анализ принципов, положенных в основу построения этого устройства, показал, что решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений возможно обеспечить более простым устройством, Действительно, работа указанного устройства начинается с записи в накапливающие сумматоры начальных приближений определяемых переменных. На выходе блока квазианалога устанавливаются невязки решаемой системы, Линейная комбинация этих невязок представляет собой вектор градиента функции ошибки в точке начального приближения. Блок управления выдает команду полученных значений невязок в блоки формирования направлений спуска уравновешивающего контура, По вторым входам звеньев перемножения первого блока формирования направлений спуска подаются текущие значения невязок, а в звенья второго блока формирования направлений спуска - выходные напряжения блока уравновешивания. После установки направления спуска по команде с управляющего блока происходит замыкание входной цепи блока уравновешивания, представляющего собой операционный усилитель с большим коэффициентом усиления,В результате переходного процесса отработки потенциальной нулевой точки на входе усилителя происходит спуск в направлении антиградиента минимизируемой функции, а в накапливающие сумматоры записывается новое приближение решения. По команде с блока управления разрывается цепь уравновешивающего контура и происходит запись в блоки формирования нового значения градиента функции ошибки в точке последующего приближения. Цикл работы устройства повторяется, Индикацией окончания процесса отыскания решения является равенство машинному нулю всех невязок на выходе блока квазианалога.Цель изобретения - повышение устойчивости и упрощение устройства,Для достижения этой цели предложенное устройство содержит т магнитных аналоговых запоминающих и регулирующих элементов, входы которых подключены через нуль- органы к выходам соответствующих сумматоров, присоединенных первыми входами к входным клеммам, и множительные блоки. Выход каждого из т магнитных аналоговых запоминающих и регулирующих элементов присоединен к одним из входов т групп из и последовательно включенных множительных олоков. Другие входы первых множительных блоков каждой группы подключены к соответствующим входным клеммам устройства, а 4выходы и-х множительных блоков соединеныс входами соответствующих сумматоров,Структурная схема устройства приведенана чертеже.6 Устройство содержит магнитный аналоговый запоминающий и регулирующий элемент1, нуль-орган 2 с отключающим устройством,множительный блок 3, сумматор 4 и вольтметр 5.10 Если решаемую систему нелинейных алгебраических уравнений, например, записать ввидеА,х" +С,г"+В,у "+ +Р 1 а"=Р Ах "+В,у" +С,г" + +Р,а" - Я, Азх +Взу +Сзг + + а - РзА,х" +В у "+С,г" + +Р,а" =Рто при и=1 она превращается в систему ли нейных уравнений .А,х+В,у+С,г+ +Ра=В 1 Ах+ Ву+ С,г+ + Ра = Л Азх+Взу+Сзг+,+ за=э 26 А х+В у+С г+ +Р =йНа входные клеммы устройства в виде соответственно пропорциональных по величине постоянных напряжений подаются коэффициенты при неизвестных системы А В С Р З 0 Аь В, С, ., Р, , А В С , Рисвободные члены системы Я Л Р, , Л,.С выхода элемента 1 в каждой группе изи последовательно включенных множительных З 6 блоков 3 в начале работы устройства на входы первых множительных блоков групп поступает некоторая произвольная величина напряжения в интервале непрерывных значений от О до + и, Эти напряжения с помощью множи тельных блоков перемножаются с соответствующими коэффициентами при неизвестных системы и подаются на входы вторых множительных блоков групп и затем на входы последующих последовательно соединенных множи тельных блоков, с помощью которых осуществляется формирование нелинейности неизвестных системы х, у, г а.С выхода каждого и-го множительного 50 блока напряжение поступает на вход соответствующего сумматора 4. Таким образом, на входы сумматоров подаются произведения коэффициентов при неизвестных системы на неизвестные, возведенные в соответствующую степень А,х, Адх",А,хд, В,уд, Вру", ., В у", С,г", Сг, , С,г Р 1 а" Ра,Р а". Произведения коэффициентовпри неизвестных системы на неизвестные, 60 возведенные в соответствующую степень,поступают с выходов и-х множительныхблоков на входы сумматоров в виде соответственно пропорциональных по величине постоянных напряжений, причем выходы и-х множитель ных блоков и свободные члены системы вво10 15 20 25 Зо 35 40 дятся на входы сумматоров напряжениями с противоположными знаками полярности.Решение систем уравнений осущсствлясгся самонастройкой предложенного устройства. Магнитные аналоговые запоминающие и регулирующие элементы 1 в каждой группе выполнены с разным быстродействием, чем обеспечивается повышение запаса устойчивости устройства. На выходе элемента 1 с наибольшим быстродействием, например используемого в первой группе, нарастает напряжение, которое за относительно малый промежуток времени может увеличиться до максимального значения. Если напряжение на выходе элемента 1 не нарастает, то оно запоминается, а при достижении максимального значения напряжение сбрасывается до нулевого значения, Затем цикл нарастания напряжсчия на выходе элемента 1 повторяется. При этом напряжение увеличивается на выходе элемента 1, используемого во второй группе и выполненного с быстродействием, несколько меньшим (порядка 1%) по отношению к быстродействию элемента 1 в первой группе. Если при нарастании напряжений на выходе элементов 1 в первой и второй группе блоков напряжения на входе нуль-органов с отключающим устройством не уменьшатся до величины, меньшей порога их срабатывания, то напряжение на выходе элемента 1 во второй группе также может увеличиться до максимального значения и затем сброситься до нулевого значения. Затем цикл нарастания напряжения на его выходе повторяется. Таким образом может повышаться напряжение на выходе элементов 1 во всех группах блоков, в том числе и на выходе элемента 1 в последней группе, выполненного с быстродействием, несколько меньшим (порядка 1%) относительно быстродействия элемента 1 предпоследней группы.Выход сумматора 4 в каждой группе коп 6тролируется нуль.органом 2 с отключающим устройством. Прн уменьшении напряжений на выходе всех сумматоров до величины, меньшей порога срабатывания нуль-органов, нарастание напряжения на выходе элементов 1 во всех группах прекращается и самонастройка устройства заканчивается.Напряжения на выходе всех элементов 1 запоминаются и поступают на выходные клеммы устройства, на которых неизвестные систем нелинейных алгебраических уравнений х, у, г ж в виде соответственно пропорциональных по величине постоянных напряжений считываются с помощью вольтметров 5.Перестройка предложенного устройства на решение систем линейных алгебраических уравнений осуществляется исключением из него вторых и последующих множительных блоков в группах,Предмет изобретения Устройство для решения систем нелиней ных алгебраических уравнений, содержащее т магнитных аналоговых запоминающих и регулирующих элементов, входы которых подключены через нуль-органы к выходам соответствующих сумматоров, присоединенных первыми входами к входным клеммам, и множительные блоки, отличающееся тем, что, с целью повышения запаса устойчивости и упрощения устройства, в нем выход каждого из т магнитных аналоговых запоминающих и регулирующих элементов присоединен к одним из входов т групп из и последовательно включенных множительных блоков, другие входы первых множительных блоков каждой группы подключены к соответствующим входным клеммам устройства, а выходы и-х множительных блоков соединены с входами соответствующих сумматоров.Составитель Е, ТимохинТехред М. Семенов Грузов едактор Тираж 679Совета Министров СССРоткрытийскан наб., д. 4/5 писное МОТ, Загорский це Заказ 3103ЦН Изд.1680ПИ Государственного комитет ло делам изобретений 113035, Москва, Ж, Рау