Устройство для моделирования уравнения лапласа для бесконечных областей

Союз СоветскихСоциалистическихРеспублик ОПИСАНИЕИЗОБРЕТЕНИЯК АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ(51)М, Кл,С 06 С 7/46 с присоединением заявки М 1 Государственный комитет СССР оо делам изобретений и открытийДата опубликования описания 2513,80(72) Авторы изобретения В.Е. Бухман, Н.Н. Макаренко, А.Р. Федоров и Н.Д, Бережная Московский ордена Трудового Красного Знамени горный институт(54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСАДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ Изобретение относится к аналоговойвычислительной технике,Известны устройства для моделирования уравнений Лапласа в бесконечнопротяженных областях, содержащие постоянные или переменные резисторы:периферийные зоны моделей ЭМ, ЭМ,ЭП. В этих моделях для аппроксима-,ции бесконечной области применяютсяй-сетки, содержащие большое, но конечное число элементов 1.Недостатком этих моделей являетсято, что остается погрешность аппроксимации, так как число элементов модели конечно. т 5Наиболее близким по техническойсущности к предлагаемому являетсяустройство для моделирования уравнения Лапласа в,бесконечно протяженныхобластях. В этом устройстве моделью 20основной области служат известные типы моделирующих устройств - электролитические ванны, сеточные электроинтеграторы и т.д., а периферийныеобласти моделируются реостатной сеткой, набранной из постоянных или переменных резисторов со стоками на бесконечность. Реостатная сетка имеетчисло измерений на единицу меньше,.чем в основной области Я. ,30 Однако это устройство не позволяетпроводить измерения по периферии, атак как аппроксимация производитсядовольно грубо, решение обладает значительной погрешностью.Цель изобретения - повышение точности решения.Указанная цель достигается тем,что в устройство, содержащее В-сетку,дополнительно введены масштабные резисторы и й суммирующих операционныхусилителей, входы которых через соответствующие масштабные резисторысоединены с внутренними узловыми точками й-сетки, а выходы суммирующихоперационных усилителей подключены ксоответствующим граничным узловымточкам к-сетки,На фиг. 1 схематически поясняется принцип предлагаемого изобретения; на фиг. 2 представлено устройство для моделирования уравнения Лапласа.Пусть в бесконечной области 5 тре,буется решить уравнение ЛапласаЬУ = 0 т (1) причем граничные условия для этого уравнения .заданы на бесконечности. Искомое решение требуется определить в некоторой конечной области 5 О. Этуобласть можйо окружить контуром 1Известно, что для контура 1.1 можнозаписать интегральное уравнейиеУД () - 5 6, ( , Р ) Ч (С(аР ( ),(2)й 1 ,.где М (Р ) - функция, являющаясяног 25 30(3 а) с1 ф 2 ф 3 ф"1 где р (Р ) - сеточная функция потенциала двойногослоя;Р (Р ) - дискретная сеточнаяКфункция,являющаясяприблйженным решением 40уравнения (1);6 (Р ;Р ), - матрица, вычисляемаяФпо функции;6 (Р ;Р 1 ) - матрица, вычисляемая2 1,1 Кпо функции;45и - число точек на контурей - число точек на контуре 2, внешнем по отношению кИэ уравнений (2 а) и (За) можно ис :ключить вспомогательную функцию р (Р )М и записать уравнение (4) 1 1 аЬ ФМ, а551 с 1,2,3, ,й, (4) где С.з(Р;Р) - известная функция,б " матрица которой вычисляется по матрицам60функций С (РР )и 6 (Р;Р.)Если область 5 а, ограниченную кон- . туром Ь, разбить сеткой, тодлякаждой внутренней узловой точки этой сет 5решением интеграль суравнения (потенциалдвойного слоя);6 (Р Р ) - ядро интегрального41юуравнения, известная 1 ОФункция координат Ри Р;Р и Р - точки, принадлежащие.решением уравнения(1).По функции )4(Р ) может быть найдено решение в любой точке Р 1, лежащей Снаружи от контура О . по формуле, ф(Рк)." 6( ( 1"20где С 2(Р; Р ) - известная функция откоординат точек Ри Р 1.Заменяя интегралы, входящие в формулы (2) и (3), конечными суммами, можно получить формулыфА,) 1 14 гР, Р, ), Р.),Р+Р,)1,2,3)п (2 а) ки, включая точки контура 1, записывается соответствующая система разностных уравнений где А;- коэффициенты, определяемыепо геометрии сетки,Системы .уравнений (4) и (5) однозначно определяют искомое решениеуравнения (2),Система уравнений (5) моделируетсяна обычной реэистивной сетке.Система уравнений (4) моделируетсяна суммирующих операционных усилителях.Устройство для моделирования уравнения Лапласа для бесконечных областей содержит основное решающее устройство врезистивную сетку 1, с граничными узловыми точками 2 и внутренними узловыми точками 3, масштабныерезисторы 4 и суммирующий операционный усилитель 5.Входы суммирующего операционногоусилителя 5,через масштабные резисторы 4, рассчитанные в соответствии сматрицей С , присоединяются к внутренним узлбвым точкам 3 реэистивнойсетки 1, граничащим с граничными узловыми точками 2, а выход усилителя5 присоединяется к соответствующейграничной узловой точке 2 резистивнойсетки.Предлагаемое устройство работаетследующим образом.На основном решающем устройстве -резиетивной сетке 1, набирается поле,моделирующее систему уравнений (5),Внутренние узловые точки 3 резистивной сетки через масштабные резисторы4 подсоединяются ко входам суммирующих операционных усилителей 5. Числоработающихоперационных усилителейдолжно равняться числу граничных узловых точек реэистивной сетки, т.е.равняетСя й. Выход каждого суммирующего операционного усилителя 5 присоединяется к своей граничной узловойточке 2 резистивной сетки. Напряжениена выходе"кажйого суммирующего опера-ционного усилителя устанавливаетсяпропорциональным сумме произведенийвходных напряжений на соответствующиепроводимости масштабных резисторов 4.За счет обратной связи, осуществляемой присоединением выходов операционных усилителей к. граничным точкам сетки, напряження-навыходах операционных усилителей устанавливаются в соответствии -с уравнением (4), т.е. всясистемасуйййруюййх операционных усилителей моделирует уравнение (4).Уравнение (4), эквивалентное уравнение (2) и (3), "учитывает граничныеусловия, заданные на бесконечности,и тем самым аппроксимирует непосредственно"этиграничные условия.781841 0 формула изобретения аэ 8143/писное.г По сравнению с известным, предложенное устройство для моделирования уравнения Лапласа для бесконечныхобластей дает возможность получить решение в любой точке области, в том числе и на периферии и повысить точность решения, так как погрешность " будет возникать лишь за счет замены интеграла конечной суммой и может быть сделана сколь угодно малой. Устройство для моделирования уравнения Лапласа для бесконечных областей, содержащее й-сетку, о т л и - 15ающе е с я тем, что, с целью" повышения точности решения, в негодополнительно введены масштабные резисторы и М суммирующих операционныхусилителей, входы которых через соот"ветствующие масштабные резисторы соединены с внутренними узловыми точками К-сетки, а выходы суммирующих операционных усилителей подключены к соответствующим граничным узловым точкам й-сетки.Источники информации,принятые во внимание при экспертизе1. Волынский Б.А., Бухман В.Е,Модели для решения краевых задач. М.,"физматгизф, 1960, с, 58.2. Авторское свидетельство СССРР 146978, кл. 6 06 6 7/46, 1962