Устройство для определения закона распределения

,152 О 545 9) С 06 Г 15 ТЕНИ 24 Бюл. Р 4 виационнь никидзе в и С.В.8) институт атико детельство СССР 6 Р 15/36, 1985 етельство СССР 06 Р 15/36, 1986 сви С 0(54) УСТРОЙСТВО НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕДЕЛЕНИЯ ЗАКО-,ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОТКРЫТИЯМПРИ ГКНТ СССР ИСАНИЕ ИЗО(56,) АвторскоеР 1280395, кл,Авторское сР 1388900, кл,(57) Изобретение относится к областистатистической обработки случайныхвеличин и может использоваться цляопределения закона распределенияслучайных величин нри малом числеизмерений. Целью изобретения является повышение точности определениязакона распределения. В устройствеосуществляется априорная непараметрическая оценка плотности вероятностиуточняющая финальную информационнуюоценку. Работа устройства включаеттри этапа. На первом этапе осуществляется вычисление параметров распреде1520545 умножители 11-13, 27, 28, синхронизатор 14, сумматоры 15, 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 518, 19, блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистры 22, 30, блоки 23, 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления непараметрической оценки плотности распределени 3, мультиплексор 26, элемент 29 задержки. 2 ил . Изобретение относится к статистичес-, кой обработке случайных величин и может использоваться для определения закона распределения случайной величины при малом числе измерений.Целью изобретения является повышение точности определения закона распределения.На фиг, 1 показана блок-схема устройства для определения закона распределения; на фиг. 2 - блок-схема блока определения параметров распределения,Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутато-, ры 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10, умножители 11-13, синхронизатор 14, сумматоры 15 и 16, блок 17 вычисления экспоненты, элементы ИЛИ 18, 19, 35 блок 20 вычисления натурального логарифма, элемент НЕ 21, регистр 22, блоки 23 и 24 определения первого и второго параметров экспоненциального распределения, блок 25 вычисления40 непараметрической оценки точности распределения, мультиплексор 26, умножители 27 и 28, элемент 29 задержки и регистр 30.Первый блок 23 определения параметров распределения (фиг. 2) содержит регистры 31-37, элементы ИЛИ 38-42, сумматор 43, вычитатель 44, делитель 45 на два, элемент 46 сравнения, узел 47 выделения знака, на капливающий сумматор 48, элемент НЕ 49, элементы И 50 и 5 1 и синхронизатор 52.Блок вычисления непараметрической оценки плотности распределения извес тен.В основу работы устройства положено использование нового метода оп(2) ления. При этом решается системауравнений с двумя неизвестными. Навтором этапе по найденным двум параметрам распределения определяетсятретий параметр. На третьем этапе поизвестным параметрам определяетсяоценка. плотности искомого распределения. Устройство содержит блок 1 вычисления начальных моментов, коммутаторы 2-6, блок 7 памяти, блок 8 индикации, квадратор 9, вычитатель 10,ределения закона распределения случайной величины при малом числе наблюдений, базирующегося на идее получения наиболее правдоподобной, наиболее объективной оценки распределения при имеющихся априорных данных. Пусть. имеется набор экспериментальных данных (выборка) объема И. Статистические данные представлены в виде гистограммы с частотами И 1, И,И Пусть гистограмме ставится в соответствие некоторое распределение Р Р.Р, отражающее априорные знания (или предположения) о законе распределения, Оценим вероятность того, что в эксперименте получены иченно наблюдаемые реализации случайной величины при условии, что закон распределения есть Р Р.РВероятность совместного наступления г - независимых событий, каждое из которых заключается в попадании М; реализаций в -й столбец, есть2Р -Р, (1)Вероятность того, что наблюдаемый набор данных получен из генеральной совокупности с законом распределения Р у Руеу РЯ 1Н;Ч= Г - ГР;- ь 1=Можно показать, что эта вероятность достигает единицы при полном совпадении теоретических вероятностей Р и эмпирических вероятностей% Я 1Р = -Этот вариант идеальный, недостижимый практически. Необходимо установить другое - при каком распределении выборки эта вероятностьмаксимальна. Для этого рассмотримвеличину1 пси ркоординаты максимума которой совпадают с координатами максимума вероятности ц. После ряда преобразований получаемЙ = -7 Р 1 п -(4)Р;Величина Я является информационной мерой близости распределений Рг и Р, , 1 = 1, г. Доказано, что функция (1 имеет нулевой максимум при Р л = Р;, 1 = 1,. г, т е когда ап.риорные . предположения о законе распределения полностью подтверждаются результатами эксперимента,На практике имеет смысл ставить задачу так: найти такое распределение выборки, которое бы максимально приближалось к априорному распределению и не противоречило бы результатам опыта. Такой подход приводит к задаче максимизации функции Я при ограничениях, вытекающих из результатов наблюдений, Эти ограничения должны отражать факт совпадения определенных числовых характеристик искомого закона с их оценками, найденными по выборке.ФПоскольку все существенные особенности распределений характеризуются их моментами, в качестве ограничений целесообразно выбрать уравнения2 л;:лв левой части которых находятся выражения для начальных моментов искомого распределения, а в правой - оценки этих моментов, вычисленные по выборке) -х, 1 с =1, 2, , ш, (6)кирогде х; - координата середины д-го интервала аппроксимации,Эти уравнения дополняются условием нормировкиР 1 (7)):лТаким образом, решение ищетсяв классе распределений, первые момен ты которых совпадают со статистическими оценками моментов, Совпадение нескольЛр 1 пг Р,ехр)р,х + Зпх) 1 (9)(10) 1 с=1,2Точность данного метода существенно зависит от точности определенияаприорной плотности вероятности Р; .В случае, когда отсутствует возможность получить достаточно хорошуюоценку априорного распределения, целесообразно применять двухэтапнуюпроцедуру определения закона распределения. На первом этапе реализациивыборки из оцениваемой генеральной 40 совокупности обрабатываются однимиз непараметрических методов (в устройстве используется метод последовательной дихотомии)45 На втором этапе полученная оценкаплотности вероятности принимаетсяв качестве априорной для описанногометода. При этом из множества допустимых оценок искомого распределения 5 О выбирается наиболее близкая к априорной непараметрической оценка. Описанная процедура позволяет учитыватьне только концентрированную информацию о выборке, заключенную в моментах распределения (что характернодля информационного метода), нои вклад каждой отдельной реализациивыборки, что приводит к повышению точностй оценивания. ких первых моментов является практической гарантией того что распределениероценка аппроксимирует неизвестное реальное распределение, Доказано, чтооптимальное число учитываемых моментов зависит от числа опытных данныхи возрастает с его увеличением. Прималых объемах выборки наиболее целесообразно использовать в ограничениях первые два момента.Решая поставленную оптимизацию-за даФу методом неопределенных множителей Лангража получаем выражение дляискомого распределенияР = Р;ехрХ,е "Р,х; +хх 20 г =1, (8)Параметры распределения при этомопределяются следующей системой уравнений:Для чи уравнений двумерной известной уравненияпополам.метода дв Е( 3 Ьс) = 0;К(3, Ь) = О(12) сленного решения системы(10) используется методдихотомии, основанный напроцедуре уточнения корнейметодом деления отрезкаРассмотрим алгоритм работыумерной дихотомии, предполагая, что решается система К(3,3) = 0;Координаты П, (, 1), Ч характе ризует область, в которой заведомо находится искомое решение, границы области легко найти путем предварительных исследований.Вначале параметру )присваивается значение Ь= Чр и уравнения решаются относительно параметраметодом деления отрезка пополам придопустимой погрешности с, . Резуль-,таты обозначим и . Определяетсязнак разности риз Цп( Я - М)(13) Далее параметру присваивается значениеар + Ь2и уравнения (12) вновь решаются относительно Ь, Результаты обозначим 7 и а. Определя (й ется знак разности ,") ифБ = зап(Я)(14) Если Б = Б, то для следующей итерации принимают Ьр = 3, в противном случае принимают а = . Процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условиеЬ - а 1, (15) где - допустимая погрешность определения параметра 1,Полученные в результате значения Зи 1 параметров З,иявляются решением системы (11). Подставив найденные значения в формулу (9), находим параметр 1(, и искомое распределение (8) полностью определено.Устройство работает следующим образом.Предварительно, по первым г-адресам блока 7 памяти заносятся значения х д = 1 г, коммутаторы 2-6р 10 15 20 25 30 35 40 45 50 установлены в первое положение. В регистре 30 хранится код ширины интервала аппроксимации й . На информационные входы регистров 31 и 32 поданы соответственно коды минимальногои максимального значений параметра 3,на соответствующие входы блоков 23и 24 поданы коды минимального и максимального значений параметра 3,коды идопустимыхпогрешностейопределения параметров 3 и ), В регистр 22 занесен нулевой код.Реализации х ,= 1, Ирисследуемой случайно величины поступают наинформационные входы блока 1 вычисления начальных моментов и блока 25.,На выходах блока 25 формируются значения Н;, д = 1, г, ординат нормированной непараметрической оценки плотности распределения. Процесс вычисленния моментовиблоком 1 заканчивается формированием на его управляющем выходе импульса. По этому импульсу запускаются блоки 23 и 24,Процесс решения уравнений (10) методом деления отрезка пополам методомдвумерной дихотомии организуется вблоках 23 и 24,По окончании вычислений блока 24формируется импульс, переключающийкоммутаторы 4 и 5 во второе положение. В устройстве при этом осуществляется вычисление параметра 3 по формуле (9), По окончании обработки всехзначений х и Р код ( Р ехр( х; +й1;+Зх ) с выхода сумматора 16 поступает на вход блока 20 вычисления натурального логарифма. Полученный кодпараметрачерез элемент НЕ 21 записывается в регистр 22, Далее коммутатор 6 переключается во второе положение. При этом в устройстве осуществляется вычисление значений Р;- 1, г,искомого закона распределениясогласно (8). Результирующий код свыхода блока 17 вычисления экспонентычерез второй вход коммутатора 4 и второй выход коммутатора 6 поступает навход блока 8 индикации. Формула изобретения Устройство для определения закрна распределения, содержащее квадратор, пять коммутаторов, три умножителя, блок определения натурального логарифма, элемент НЕ, два сумматора,15205 Й 5 10 9блок вычисления экспоненты, блоки памяти, блок индикации, блок вычисления начальных моментов, вычитатель, два элемента ИЛИ, регистр, синхрони.затор, блок определения первого параметра экспоненциального распределения, блок определения второго параметра экспоненциального распределения входы задания минимального значения первого параметра распределения, максимального значения первого параметра распределения, допустимой погрешности определения первого параметра распределения блока определения первого параметра экспоненциального распределения и входы задания минимального значения второго параметра распределения, максимального значения второго параметра распределения, допустимой погрешности второго параметра распределения блока определения второго параметра экспоненциального распределения являются соответственно одноименными входами устройства, ийформационный вход блока вычисления начальных моментов является информационным входом устройства, выход первого момента блока вычисления начальных моментов соединен с первым информационным входом первого коммутатора, выход второго момента блока вычисления начальных моментов соединен с вторым информационным входом первого коммутатора, с выходом окончания вычислений первого параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения, с вторым входом запуска блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход первого коммутатора соединен с входом уменьшаемого вычитателя, вход вычитаемого которого соединен с выходом второго коммутатора, первый информационный вход которого соединен с выходом блока памяти, с первым информационным входом первого умножителя и через квадратор с вторым информационным входом второго коммутатора и с первым информацион ным входом второго умножителя, вход разрешения считывания блока памяти соединен с первым выходом синхронизатора, адресный вход блока памяти соединен с вторым выходом синхронизатора, тактовые входы вычитателя и первого и второго умножителей соединены с третьим выходом синхронизатора, выход вычитателя соединен с первым информационным входом третьегоумножителя, второй информацоинныйвход первого умножителя соединен свыходом первого параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения, с входомпервого параметра блока определениявторого параметра экспоненциальногораспределения, выход первого умножителя соединен с первьщ информационным входом первого сумматора, второйинформационный вход которого соединен с выходом второго умножителя,второй информационный вход которогосоединен с выходом второго параметраблока определения второго параметраэкспоненциального распределения, третий информационный вход первого сумматора соединен с выходом регистра,а тактовый вход третьего сумматорасоединен с четвертым выходом синхронизатора, выход первого сумматорасоединен с информационным входомблока вычисления экспоненты, тактовый вход которого соединен с пятымвыходом синхронизатора, тактовыйвход третьего умножителя соединенс шестым выходом синхронизатора,выход третьего умножителя соединенс первым информационным входом третьего коммутатора, управляющй входкоторого соединен с управляюшим входом четвертого коммутатора, с выходомпервого элемента ИЛИ, первый вход которого соединен с первым входом второго элемента ИЛИ, с входом установ 1 11ки в 0 регистра, с седьмым выходомсинхронизатора, с входом о с тан о в а 40блока определения первого параметраэкспоненциального распределения и свходом останова блока определениявторого параметра экспоненциальногораспределения, вход разрешения записи регистра соединен с вторым входомвторого элемента ИЛИ и с восьмым выходом синхронизатора, информационный вход регистра через элемент НЕсоединен с выходом блока вычислениянатурального логарифма, тактовый входкоторого соединен с девятым выходомсинхронизатора, информационный входблока вычисления натурального логарифма соединен с первым выходом четвертого коммутатора, второй выходкоторого соединен с информационным входом блока определения первого па-.раметра экспоненциального распределения, информационный вход четвертогокоммутатора соединен с выходом второго сумматора, тактовый вход которого соединен с десятым выходом Синхронизатора вход разрешения считывания вто 95 рого сумматора соединен с одиннадцатым выходом синхронизатора, с входом тактирования выделения знака текущего значения блока определения первого параметра экспоненциального распреде О ления, вход установки в "О" второго сумматора соединен с выходом окончания вычисления второго приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения, информационный вход второго сумматора соединен с первым выходом пятого коммутатора, управляющий вход которого соединен с выходом второго элемента ИЛИ, информационный вход пятого ком мутатора соединен с выходом третьего коммутатора, а выход соединен с входом блока индикации, двенадцатый выход синхронизатора соединен с тактовым входом блока определения перво го параметра экспоненциального распределЕния, вход запуска импульсов синхронизации первой группы синхронизатора соединен с выходом окончания вычисления первого приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения, вход запуска импульсов синхронизации второй группы синхронизатора соединен с входом разрешения вычисления третьего параметра блока определения первого параметра экспоненциального распределения и с вторым входом первого элемента ИЛИ, выходом окончания вычисле- ния второго параметра блока распреде О ления второго параметра экспоненциального распределения, выход окончания вычисления второго приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения соединен с входом тактирования, вычисления разности первого и второго приближений блока определения второго параметра экспоненциального распределения, выход окончания вычисления первого приближения блока определения первого параметра экспоненциального распределения соединен с входом разрешения записи первого приближения первого параметра блока определения второго параметра блока определения второго параметра экспоненциального распределения , выход окончания вычисления текущего приближения блока определения параметра экспоненциального распределения соединен с входом начала вычисления первого приближения,с входом пятого элемента И второго блока определения первого параметра экспоненциального распределения, о т л ич а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности определения закона распределения, в него введены блок вычисления непараметрической оценки плотности распределения, мультиплексор, .четвертый и пятый умножители, элемент задержки и второй регистр, причем информационный вход блока вычисления непараметрической оценки ппотности распределения подключен к информационному входу устройства,ю входы задания числа реализации, числа интервалов разбиений и ширины интервала анализа блока вычисления непараметрической оценки плотности распределения являются одноименными входами устройства, каждый выход блока определения непараметрической оценки плотности распределения соединен с соответствующим информационным входом мультиплексора, тактовый вход которого соединен с входом разрешения считывания второго регистра и первым выходом синхронизатора, адресный вхоД мультиплексора соединен с вторым выходом синхронизатора, выход мультиплексора соединен с первым информационным входом четвертого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом второго регистра, тактовый вход четвертого умыожителя соединен с третьим выходом синхронизатора, а выход соединен с первым информационным входом пятого умножителя, второй информационный вход которого соединен с выходом блока вычисления экспоненты, тактовый вход пятого умножителя соединен с тринадцатым выходом синхронизатора, а выход соединен с вторым информационным входом третьего коммутатора и третьего умно" жителя, выход окончания вычислений блока вычисления начальных моментовчерез элемент задержки соединен с входами запуска блоков определения первого и второго параметров экспоненциального распределения,с вторым входом шестого элемента ИЛИ первого блока определения параметров распределения, с вторым входом первого и второго элементов И второго блока определения параметров распределения, с вто1520545 Составитель В, . Орловдактор О, Головач Техред Л. Сердюкова Корректор Л й Заказ 824 ираж 668 Подп омитета по изобретениям и осква, Ж, Раушская наб ое ткрытиям при ГКНТ ССС д. 4/5 НИИПИ осударственно11303 изводственно-издательский комбинат "Патент", гЛжгарод гарина,301 13ьми входами четвертого и пятого элементов ИЛИ второго блока определения ,параметров распределения, с первым входом шестого элемента ИЛИ второго блока определения параметров распределения, с входом разрешения записи четвертого регистра второго блока определения параметров распределения.