Учебное пособие по математике

СОЮЗ СОВЕТСКИХСОЦИАЛИСТИЧЕСКИХРЕСПУБЛИК 17918 09) 6 09 В 23/ ТЕНТНО СУДАРСТВЕННО ДОМСТВО ССС ОСПАТЕНТ СССР) АНИЕ ЕНИ ССР О,ТЕМАТИКЕ емонстраци- испольэовалинейного т расширить известного, я, Сущность идетельство С 09 В 23/02, 198 ОСОБИЕ ПО МА относится к д и может быть нии теории ия и поэволяе возможности ности обучени пр ди улу онструкции одели целе- жаетдидакОбучаемые ую связь обАВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ(57) Изобретениеонным приборамно при иэучеограммировандактическиечшить нагляд Изобреонным приобучения,изучении мведениях.Известно учебное пособие по математике, выбранное в качестве прототипа, содержащее коробку с прозрачным планшетом,окантованным намагниченным материалом,на котором нанесена прямоугольная система координат, источник света, набор прозрачных пластин, каждая из которых имеетнамагниченную крс мку,стержень, шарнирно закрепленный на планшете в начале координат, и планку, свободно установленнуюна стержне перпендикулярно ему, Пособиепозволяет иллюстрировать метод градиентарешения задач линейного программироватение относится к демонстрациборам, в частности к средствам и может быть использовано при атематики в высших учебных зания.Недостатком известнойявляется отсутствие зримой мвой функции, что значительно стические возможности пособине могут наблюдать п роекцион изобретения состоит в - .аличии дополнительного средства моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины для представления целевой фучкции, имеющей стрелочный указатель направлен я возрас.ания или убывания целевой функции, и ползунок- имитатор линии равного значения, а также в наличии набора модифицированных по форме прямых, усеченньх призмдля имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции. 13 ил ласти допустимых оешений с соответствующей зоной на целевой функции, не могут видеть возрастание (убывание) целевой функции и точку ее экстремума, В силу этого, учебное пособие не позволяет иллюстри ровать многие ключевые положения теории линейного программирования.Целью изобретения является расширение дидактических возможностей пособия и улучшение наглядности обучения путем обеспечения возможности демонстрации понятия целевой функцииУказанная цель достигается при помощи прозрачной пластины для моделирования целевых функций, а также при помощи прямых, усеченных призм, имитирующих проекционную связь определенной области допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции, Сопоставительный анализ с прототипом позволяет сделать вывод, что заявляемое учебное пособие отличается тем. что оно имеет средство моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины дляг.редставления целевой функции, имеющей стрелочиый указатель направления возрас,тания или убывания целевой функции и ползунок - имитатор линии равного значения, и набор модифицированных по форме прямых. усеченных призм для имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной иа целевой функции, предназначенных для установки на планшете, закрепляемь 1 х иа основании и на пластинах, имеющих намагниченную кромку, при этом прозрацная пластина для представлечия целевой функции установлена на планшете посредством оси, расположенной в начале координат, а основания призм имеют намагниченный участок для закрепления на пластинах,На фиг,1 показано пособие, вид спереди; на фиг.2 - то же, вид слева; иа Фиг,З - то же, вид сверху; на фиг.4 - разрез А-А на фиг.2; на фиг,5 - проектный расчеттреуголь.ной призмь 1; на фиг.б - набор из трех треугольных призм; на фиг.7 - вид по стрелке Б на фиг,б; на фиг,8 - взаимодействие элементов пособия при определении совокупности неотрицательных переменных х 1 и х 2 в конкретной задаче линейного программирования; на фиг,9 - поворот пластины до совмещения стрелочного указателя с направлением стержня; на фиг,10 - поворот пластины вокруг оси на угол 3; на Фиг,11 - положение стержня вне области допустимых решений; на фиг,12 - установка треугольной призмы на планшете; иа фиг,13- Фиксация точки максимума целевой функции.Чстройство содержит коробку 1 с прозрацным планшетом 2, на котором нанесена прямоугольная система координат 3, источник света 4, шарнирно закрепленнь 1 й на планшете в начале координат стержень 5, планку б, свободно установленную на стержне перпендикулярно ему, и набор пластин 7. Прозрачный планшет 2 имеет намагничениуа окантовку (на фиг,З окантовка показана жирнь 1 ми линиями), каждая из прозрачных пластин 7 имеет намагниченную кромку (на фиг,8 намагниченные кромки показаны жирныли линияли). Намагниченная окантовка и намагниченные кромки предназначены для фиксации прозрачных пластин 7 на прозрачном планшете 2.Кроме стержня 5, в начале координат шарнирно крепится ось 8, вокруг которой может поворачиваться прямоугольная прозрачная пластина 9, моделирующая целевые функции двух переменных. На пластине 9 нарисован стрелочный указатель пакаэывает возрастание или убывание целевой 5 10 15 20 25 30 З 5 40 45 50 55функции), пересекающий начало координат и направленный по нормали к оси 8. На пластине 9 имеется ползунок 10 - имитатор линии равного значения линейной формы, Пособие снабжено набором модифицированных по Форме прямых, усеценных призм с основаниями, имеющими намагниченный участок. Намагниченные участки служат для закрепления призм на проэрацных пластинах 7.Стержень 5 предназначеи для показа направления градиента целевой функции, а планка б - для показа линий уровня целевой функцииМоделируя целевые функции и располагая набором призм с необходимой модификацией формы, можно осуществлять наглядную геометрическую интерпретацию задач линейного программирования в трехмерном пространстве, иллюстрируя в процессе обуцения многие ключевые положения теории линейного программирования, Круг дидактических задач при этом не ограничивается и мажет быть расширен обучающим, Соответственно, пополняемым будет и набор модифицированных по форме прямых, усеченных призм,Пусть, например, перед обучающим стоит дидактическая задача; показать, что решение задачи лине 1 ного программирования 7 = с 1 х 1+ с 2 х 2 гпах а 11 х 1+ а 12 х 2Ь 1 321 х 1 + а 22 х 2Ь 2 аз 1 х 1+ аззх 2Ьз находится в одной из вершин многоугольника допустимых решений, Требуется показать также, что линейная форма одного вида достигает максимума в какойо одной вершине области допустимых решений, а линейная форма другого вида - в другой вершине, Обучаемым необходимо, кроме того, продемонстрировать существование множества решений,Эти сложные для умозрительного понимания вопросы можно рассмотреть, имея в наборе модифицированных по форме призм три треугольные призмы чьи основания идентичны одной и тай же области допустимь 1 х решений, а наклоны верхних граней различны и соответствуют неодинаковому наклону к началу координат трех неодинаковых целевых функций,Размеры, необходимые для изготовления призм, можно определить, выполнив проектный расчет, который заключается в следующем,Вначале задаются целесообразной совокупностью неотрицательных переменныхгде Х 1, Х 2 - отрезки. отсекаемые на координатных осях прямыми, представляющими собой ограничения;х 1, х 2 и х 1, х 2 - координаты вершин 151 1 2 2треугольника допустимых решений, причем вершин, принадлежащих одной и той же стороне треугольника допустимых решений;) - номер стороны треугольника допу стимых решений,= 1, 2, 3 (фиг,5).Определяют коэффициенты при переменных и свободные члены ограниченийап = Х 2; аа = Х 1; Ь = ХХ 2; (2)1=1,2,3. 25Задаются целесообразными длинами Е и Е" каких-либо двух боковых ребер каждой из призм, Длины боковых ребер призмы в принятом масштабе равны значениям целевой функции в вершинах треугольника ре шений.Решая систему уравненийЕ = С 1 х + С 2 х 2 (3)2 = С 1 х; + с 2 х 2.находят коэффициенты с 1 и с 2 при переменных целевой функции.Здесь х 1 и х 2 - координаты вершин треугольника допустимых решений.Подсчитывают длину третьего ребра:Е = С 1 х 1 + С 2 х 2, (4) 40Полученные в результате проектного расчета призм размеры даны на фиг.б и 7.В соответствии с фиг.5, 6 и уравнениями 1 - 4 имеем систему ограничений-5 х 1+ 1,25 х 2- 6,25,и три целевые функциис= 1,27 х 1 + 1,1 х 2,22 = 2,8 х 1 - 1,2 х 2 50сз = 1,58 х 1 + 0,9 х 2.Учебное пособие работает следующим с 71 - , г 1- цгас Е 1= - , +ОХ бх 2 с а 711 Ц а= - /сх 2 сх 1=1,6 от ,2 .В положении, близком к горизонтальному, поворачивают пластину 9 вокруг шарнира так, чтобы нарисованный на пластине 9 стрелочный указатель совпал с направлением стержня 5. Затем пластину 9 поворачивают вокруг оси 8 на угол Р - угол наклона целевой функции к началу координат, В этом положении прозрачная пластина 9 представляет линейную целевую функцию 21 = 1,27 х 1+ 1,1 х 2Поворачивая стержень 5, устанавливают его так, чтобы он не пересекал область допустимых решений, На планшет 2 устанавлива 1 от призму, соответствующую целевой функции 21 = 1,27 х 1+ 1,1 х 2. Основание образом.Пластину 9в вертикальноеполагают на плниченный крайи х 2 = 1,375. Плачтобы намагничточки х 1 = 3,8 х и х 2 в вершинах треугольника допустимыхрешений (фиг,5), Затем формируют ограничения, используя уравнения: станавливают вдоль оси х 2 оложение. Пластину а рас ншете так, чтобы ее намагроходил через точки х 1= 5,5 стину Ь устанавливают так, нный ее краИ прошел через х 2 = 6,33, намагниченный край пластины Ь проходит через точки х = =1,25 и х 2 =- - 5,Намагниченные края пластин образуют треугольник АВС, представляющий собой область допустимых решений, Так как этот треугольник (и только он) закрыт всеми тремя пластинами, то при подсвете лампой 4 он будет самым темным участком на планшете 2, Это позволяет отчетливо видеть область допустимых решений и облегчает работу с ней при пользовании прибором.Определяют градиент первой целевой функции цгас Л = 1,27 7+ 1,1 , Находят угол а, который направлениеградиента образует с направлениеоси х 1 ц а =- 1,1/1,27 = 0,866, откуда а = 40,9, Устанавливают стер:,сень 5 под углом а= 40,9 к оси х 1, а планку 6 перемещают по стержню 5 до крайней вершины областиопустимых решений, т,е. до точки А, Координаты этой точки (х 1 - 2, х 2 = 3) должны являться решением поставленной задачи,Находят угол Р между направлением градиента и направлением возрастания собственно целевой функции;призмы должно совпадать с самым темнымучастком (треугольником допустимых решений), В этом положении призму закрепляютна основании, имеющем намагниченныйучасток, и на пластинах, имеющих намагниценную кромку.Если углы а и Р подсчитаны правильно,верхняя наклонная грань призмы соприкоснется с плоскостью пластины 9. Наблюдаютпроекционную связь области допустимых 10решений с соответствующей зоной на целевой функции, Перемещая ползунок 10 донаиболее удаленной вершины наклоннойграни призмы, фиксируют точку максимумацелевой функции. Убеждаются, что точка 15максимума проецируется именно в вершинумногоугольника (в данном случае, треугольника) допустимых решений,Используя формулы (5, 6 и 7), выполняют аналогичные действия, располагая 20вначале на области допустимых решений=1,58 х + 0,9 х 2.В первом случае, перемещая ползунок 2510, .убеждаются, что .различные линейныеформы достигают максимума в разных вершинах одной о той же области допустимыхрешений, Во втором случае наблюдают бесчисленное множество решений - ползунок 3010 совпадает с одной из сторон(стороной г)треугольника, представляющего собой наклонную грань призмы (фиг.б и 13), Все точки, принадлежащие стороне г являютсяточками максимума целевой функции. 35Положительный эффект заявляемогоучебного пособия; зримая модель целевойфункции в сочетании с различными по форме усеченными призмами позволяет изуцать теорию линейного программированияв различных дидактических аспектах, улучшая одновременно наглядность обуцения,Формула изобретения Учебное пособие по математике, содержащее коробку с прозрачным планшетом, окантованным намагниченным материалом, на котором нанесена прямоугольная система координат, источник света, набор прозрачных пластин, каждая из которых имеет намагниченную кромку, стержень, шарнирно закрепленный на планшете в начале координат, и планку, свободно установленную на стержне перпендикулярно ему, о т л и - ч а ю щ е е с я тем, что, с целью расширения дидактических возможностей и улучшения наглядности обучения путем обеспечения возможности демонстрации понятия целевой функции, оно имеет средство моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины для представления целевой функции, имеющей стрелочный указатель направления возрастания или убывания целевой функции и ползунок- имитатор линии равного значения, и набор модифицированных по форме прямых, усеченных призм для имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции, предназначенных для установки на планшете, закрепляемых на основании и на пластинах, имеющих намагниченную кромку, при этом прозрачная пластина для представления целевой функции установлена на планшете посредством оси, расположенной в начале координат. а основания призм имеют намагниченный участок для закрепления на пласгинах..Л Фиа кач и ГКНТ СССР осуда оизводственно-издательский комбинат "Патент", г, Ужгород, ул,Гагарина Редактор Заказ 15 ВНИИСоставитель В, СвиридовТехред М.Моргентал Корректор Тираж Под енного комитета по изобретениям и 13035, Москва, Ж, Раушская наб. исное открытия