Устройство для решения краевых задач

СОЮЗ СОВЕТСКИХсаапвзиксекРЕСПУБЛИН 9) рц С 06 13ственный универЗенков, атбаева льство СССР /48, 1979, ство СССР 7/48, 1983 ЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ(54 УСТРОЙСТ ится к аналого- нике и предназобретение относится лительной технике и налоговои дназначеГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОПОКРЫТИЯМПРИ ГКНТ СССР АВТОРСКОМУ СИИ, (57) Изобретение отнвой вычислительной т но для решения краевых задач.Бель изобретения - расширение клас са решаемых задач, а именно решение краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме беэ . потери точности методом дифференциаль ной прогонки.На фиг,1 представлена блок-схема устройства для решения краевых задач; на фиг,2 - функциональная схема блока вычисления краевых условий искомой функции; на фиг,3 - функциональная схема блока промежуточного вычисле- . ния; на фиг.4 - функциональная схема блока вычисления искомой функции;,на фиг.5 - функциональная схема блока 2начено для решения краевых задач, Цель изобретения - расширение класса решаемых задач, а именно решение краевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной Форме без потери точности путем реализации метода дифференциальной прогонки. Для достижения этой цели устройство дополнительно содержит второй коммутатор, блок вычисления краевых условий искомой функции и блок задания, коэффициентов уравнения. Устройство позволяет сократить время счета и распараллелить процесс вычислений без значительного усложнения аппаратурной реализации, что само по себе приводит к повышению надежности устройства, 6 ил,Эзадания коэффициентов уравнения; на рьфиг,б - временная диаграмма выходных рнапряжений блоков устройства.Устройство для расширения краевыхзадач на основе метода дифференциаль)вайной прогонкия (Фиг,1) содержит первыйкоммутатор 1, блок 2 аналоговой памяти, второй коммутатор 3, блок 4 вычисления искомой функции, блок 5 вычисления краевых условий искомойфункции, блок 6 промежуточных вычислений, блок 7 задания краевых условий,блок 8 задания коэффициентов уравне- фффния и блок 9 синхронизации,, Блок 5 вычисления краевых условийфункции (фиг.2) содержит первый 1 0и второй 11 контакты ключевого элемента 1 2, первый 1 3 и второй 1 4 би 3 164071:полярные источники напряжения, первый15 и второй 16 двухвходовые сумматорыи делитель 17 аналоговых сигналов.Блок 6 промежуточных вычислений(фиг.3) выполнен по схеме прямой дифференциальной прогонки и содержит первый 18 и второй 19 двухвходовые ин- .тегросумматоры со схемами задания начальных условий и режимами "Исходноеположение", "Пуск", "Останов", квадратор 20 и первый перемножитель 21аналоговых сигналов. управляющими входами блока являются входы С, 8, Н интегросумматоров 18 и 19.Блок 4 вычисления искомой функции.(Лиг.4) выполнен по схеме обратнойдифференциальной прогонки и содержиттретий двухвходовый интегросумматор22 со схемой заданийначальных усло-,вий и режимами "Исходное положение","Пуск", "Останов" и второй перемножитель 23 аналоговых сигналов. Управляющими входами блока 4 являются входыС, Б, Н интегросумматора 22,Блок 8 задания коэффициентов уравнения (фиг.5) содержит первый 24 ивторой 25 биполярные управляемые источники напряжения,Для получения численного решениякраевую задачу обычно сводят к реше-.нию системы алгебраических уравнений,заменяя производные в дифференциаль- .ном уравнении их разностными отношениямиАуф: - Су + Ву - Г+ф11,Ю, А,ФО, ВФОСФ О(1)40В ряде случаев требуется решить неодну. задачу (1), а серию задач с раз-,личными правыми частями, причем чис- .ло задач в серии может равняться нескольким десяткам или сотням при числе неизвестных в каждой задаче 01100,что приводит в конечном счете к зна-;чительным временным затратам,Ращение задачи (.1.) на издестпьщ ,цифровых вычислительных устройствах,даже при использовании высокоэех"тинного метода прогонки не даетзначительного сокращения времени сче"та при многократном решении системалгебраических уравнений (1) или,когда эти системы имеют высокий порядок. Более того, использование ЭЦВМтребует специальных знаний по программированию, значительного времени на подготовительные операции написа- .ния и отладки программы и большогообъема оперативной памяти,Известные аналоговые вычислительные машины (АВМ) предназначены длярешения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями (задачи Кбши), поэтому рещениекраевых задач на АВМ приводит к значительному увеличению используемыхэлементов, что в конечном счете снижает надежность устройства и приводитк его удорожанию,Таким образом, известные устройства для решения краевых задач обладаютследующими недостатками: значительноевремя счета (на ЭЦВМ), сложная аппаратурная реализация при малой надежности устройства (на АВМ), невозможность реализации потенциально высокого быстродействия АВМ (распараллеливание вычислений),Однако решение краевой задачи (1)можно свести к решению несколькихзадач Коши с помощью метода дифференциальной прогонки, что позволяет использовать АВМ без увеличения числаиспользуемой аппаратуры. Рассмотрим,например, решение дифференциальногоуравнения второго порядка.у = р(х)у +1(х), Ос х 61 (2)с.краевыми условиямиу - Мьу - Ъох = О (3) у + (ьу Оо.)х " 1. (4) Левое граничное условие (3) вьщеляет из.общего решения (2) семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра. Тем самым в каждой, точке отрезка Ойх Й 1 индуцируется линейное соотношение между у(х) и у(х)у (х) =1:(х)у(х) +ф(х) (5),Причем нсеые фунхциидх) и ф(х) определяются следующими задачами КоШИ 11)( (х) + ф(х) Р(х), 1)(О) Мф5 1640718В точкех = 1 можно теперь получитьеще одно граничное условие ( пригнанное из точки х = О)у (1) = ой 1)у(1) + (1),5Вместе с заданным на правой границе условием (4) оно дает возможностьнайти у(1) из системы уравненийу(1) = Ч, у(1) + Са,10у(1) = 0(1)у(1) + /3(1) или окончательно(8) у (1) = - -"в"эИ - 6 (1)15ЧоИспользуя (5) с начальным условием у(1) = у 1, находим исходное решение у(х).Кроме того, появляется реальнаявозможность распараллелить процессвычислений, используя следующую идею,В прямом ходе прогонки одновременно(параллельно) решаем дифференциальныезадачи (6) и (7), выбирая в определенные моменты времени счетную последовательность коэффициентов ф и 5,и запоминая их в соответствующих ячейках блока памяти, в обратной прогонке,выбирая из блока памяти соответствующие значения 0 и 1 э , решаем дифференциальную задачу (5), которая дает искомое решение,Устройство работает следующим образом, 35Реализация алгоритма метода дифференциальной прогонки (5)-(8), т.е,решение дифференциальной задачи (2) -(фиг.6), Ниже принято следующее обозначение У - выходное напряжение 1-го1выхода -го блока.Первый этап. Задаются начальныезначения прогоночных коэффициентовК(0) = 0, и (0) = /Ьо,45По запускающему импульсу генератора блоха 9 синхронизации на информационные входы 1 и 2 блока 6 (фиг,1,3)задаются напряжения У и У с соот 7ветствующих выходов блока 7 задания 50краевых условий 7 (пропорциональныеначальным значениям прогоночных коэффициентов Мои), В этот промежуток времени интегросумматоры 1 8 и 1 9находятся в режиме Задание начальных 55условий", Функциональные зависимостипеременного коэффициента р(х) и правой части ц(х) задаются в виде соответствующих напряжений Б, и 112 в бло 8 д ке 8 задания коэффициентов уравненияи поступают на информационные входы3 и 4 блока 6, На данном этапе, производится настройка схем блока,8, и вначальный момент времени решения наыходах данного блока сформированынапряжения 13,(0) и У(0),8 8Блоки 1-3, 5 находятся в это времяв режиме ожидания, определяемом бло-"ком 9 синхронизации, Блок 4 находитсяв режиме "Исходное положение",Второй этап. Находится решениедифференциальных уравнений (6), (7)для прогоночных коэффициентов 0(х) и(х), Решение ищется на интервале изменениянезависимой переменной х от 0до 1 (прямая прогонка), Решение М(х)и ф (х) находится в непрерывной формев блоке 6 средствами аналоговой вычислительной техники, причем математическое доказательство работоспособностиблока приведено ниже.По окончании запускающего импульсаи приходе первого тактового импульса(фиг,6) устройство начинает решение,Интегросумматоры 18 и 9 блока 6 переключаются из режима Задание начальных условий в режим Пуск, Заметим,что величина машинного времени ОСМ 4 Тинтегрирования схемы блока 6 (фиг.3)ставится в соответствие с величинойинтервала изменения независимой пе-,ременной х(ох 1)Следовательно,например, величины напряжений, соответствующие функциям р(х) и 1(х), будут формироваться в блоке 8 до техпор, пока СМ не станет равчым Т (коэффициенты уравнения р(х) и ц(х) соответствуют в этот момент величинам,р и ц(1.Действительно, уравнения, описывающие работу схемы на фп .3, имеютвид (на этом этапе)-1111 +11 (г. )М6 7П,й= П -Ъ, (10) где 11 - напряжение на выходе интегросумматора 18 блока 6;У - напряжение на третьем информационном входе блока 6 промежуточных вычислений (напервом выходе блока 8 задания коэффициентов, пропорциональное р(х);- напряжение на выходе интег 5росумматора 1 9 блока 6; - напряжение на четвертом информационном входе блока 6промежуточных вычислений(на втором выходе блока 8задания коэффициентов), пропорциональное ц(х); П8 7Б 111" - напряжения на первом и вто 2ром информационных входахблока 6 промежуточных вычислений (на первом и втором выходах блока 7 задания краевьх условий), пропорциональные начальнымзначениям ф и 3 соответственно.Из сравнения уравнений (6)-(7) с уравнениями (9)-(10) следует очевидность доказательства моделирования 25. исходной задачи в прямом ходе прогонки, Получаемые непрерьвно значения напряжений, соответствующие прогоночным коэффициентам О( и ф, через пер-. вый и второй выходы блока 6 промежу точных вычислений засыпаются в первый коммутатор 1, который последовательно во времени подключает первый и второй выходы блока 6 промежуточных вычислений к соответствующим ячейкам блока 2 аналоговой памяти (1 -2), (3-4)(23-1, 2 И). Ввиду отсутствия запоминающих устройств с электронными способами записи, хранения и выдачи информации в непрерьвной Форме 40 в предлагаемом устройстве, как уже указывалось вьппе, используются 2 Б ячеек схем хранения, записи и выдачи получаемых на данном этапе значений ко;эффициентов 0(х) и 3(х). в виде сост ветствующих напряжений Ц,(с) и "г(м)6Таким образом, в 2 Я ячеек аналого-вой памяти будет записан ряд значений напряжений 11(С 1 ) и 02(ц,), соот ветствующих прогоночным коэффициентам 0, и 1 (а = 1,2 ы). управление работои коммутатора 1 осуществляется. по соответствующим сигнальным линиям магистрали управления блока 9, по ко5 торым подаются цифровые коды на управляющие входы коммутатора 1. На данном этапе решения блок 8 формирует значе.ния напряжения Б,(г 1) и Б 2(Сд)е про 6 6 порциоиальные р(х) и Ч(х). По окончании действия запускающего импульса(на протяжении 2 этапа) все остальныеблоки устройства находятся в следующих режимах: блок 2 находится в режи-,ме записи (" Выборка" ), и его 2 Б выходов отключены от выходов ячеек аналоговой памяти; блоки 3-5,7 находятсяв ждущем режиме (в исходном положении), На этом заканчивается первыйцикл вьиислений или выполняется прямая прогонка,Третий этап, На данном этапе происходит вычисление правого краевогоусловия в блоке 5 в соответствии сусловиями (8),В момент времени (Су = Т), когдазакончилось нахождение напряжений,соответствующих коэффициентам К и фв блоке 6 промежуточных вычислений,.происходит включение блока 5 вычисленийкраевых. условий искомой Функции, ина еговыходе формируется напряжение,соответствующее краевому условию ис-комой Функции согласно уравнению(8), В этот момент пифровой код, соответствующий Н такту работы генератора, по соответствующим выходным шинам блока 9 переводит коммутатор 1 висходный режим; блок 2 переходит врежж "Хранения" результатов промежуточного решения, а 2 И выходов данногоблока подключаются к соответствующимвыходам 2 Н ячеек аналоговой памяти;второй коммутатор 3 производит подключение 2 И-го и (2 Н)-го выходовблока 2 ко второму и первому входамблока 4; блок 4 переходит из режима"Исходное положение" в режим "Начальные условия"; блок 5 в этот момент:начинает выдавать напряжение, соот-,ветствующее краевому условию .(8);блок 6 переходит. в .режим "Останов";блоки 7-8 находятся в режиме "Исходное положение".Четвертый этап. Ищется решение искомой задачи,По приходу И+1 импульса блок 4 переходит в режим "Пуск" и начинает находить искомое решение, т.е, начинается обратная прогонка, С помощью второго коммутатора 3 из ячеек блока 2аналоговой памяти считываются попарно значения напряжений, соответствующие прогоночным коэффициентам М, иД, в обратном порядке ( = И, И 1) для вычисления значений искомойФункции по уравнению (5). На выходеблока 4 вьиисления искомой ФункцииВобразуется искомое решение в виде не - прерывно изменяющегося напряжения, Доказательство работоспособности блока 4, т,е, воспроиэводимость .уравнения (5) средствами аналоговой вычислительной техники очевидна1 Ц Э 4 Э4- Ц Б + (1 1)йСА, = 1 О 4П, (с) /с,л = (1+11 Д г = Т + Ь=1.(5), что и требовалось доказать, После поступления 2 И тактового импульсапроцесс решения заканчивается, Приэтом число ячеек памяти блока 2 определяется, во-первых, из необходимойточности решения, во-вторых быстродействием коммутаторов 1 и 3 (например, с временем переключения 5-1 О йс)что позволяет выбрать .интервал машинного времени Т 1 мкс, т,е. организовать параллельный и быстродействующий 25пооцесс решения,Формула изобретенияУстройство для решения краевых за дач, содержащее блок промежуточныхвычислений блок синхронизации, блок3задания краевых условий, блок памяти,коммутатор, информационные выходы которого подключены к соответствующиминформационным входам блока памяти,соответствующие шины магистрали синхронизации блока синхронизации подключены соответственно к управляющим входам коммутатора, входам разрешениязаписи/считывания блока памяти, вхо -дам кодовой установки выходных. значений напряжений блока задания краевыхусловий, к входам тактирования, останова и сброса интегросумматоров блокапромежуточных вычислений, о т л и -ч а ю щ и й с я тем, что, с цельюрасширения класса решаемых задач засчет получения устойчивого решениякраевых задач с переменными коэффициентами в дифференциальной форме; внего введены блок задания коэффициентов уравнения, блок вычисления краевых условий искомой функции, блок вычисления искомой функции и второйкоммутатор, информационные входы ко-,торого подключены к соответствующим выходам блока памяти, первый и второй выходы второго коммутатора соединены соответственно с первым и вторым информационнымп входами блока вычисления искомой функции, третий информационный вход которого соединен с выходом блока вычисления краевых условий искомой функции, блок промежуточных вычислений включает два интегросумматора, квадратор и перемножитель выход которого подключен к первому входу первого интегросумматора, выход квадратора соединен с первым входом второго интегросумматора, выход которого соединен с первым входом перемножителя, с входом квадратора блока промежуточных вычислений, с первым информационным входом блока вычисления краевых условий искомой функции и первым информационным входом первого коммутатора второй информационный выход блока задания краевых условий подключен к установочному входу текущего значения коэффициента первого интегросумматора, выход которого соединен со вторым выходом блока про межуточных вычислений, перемножителя, со вторым информационным входом блока вычисления краевых условий и вторым информационным входом первого коммутара первый информационный выход блока задания краевых условий подключен к установочному входу текущего значения коэффициента второго интегросумматора, второй информационный вход которого соединен с первым информационным выходом блока задания коэффициентов уравнения, второй информационный выход которого соединей со вторым инФормационным входом первого интегросумматора, соответствующие шины магистрали управления блока синхронизации. подключены соответственно к входам кодовой установки значений блоказадания ко- эффициентов уравнения, к тактовому входу. переключения правого и левого краевых условий блока вычисления краевых Условий искомой ФУнкЦии к Вхо дам тактирования, сброса и останова блока вычисления искомой функции и к управляющим входам второго коммутатора.1640718 Выиоу Гвнв и тап этап г 6,Составитель А,КоролевРедактор Г.Наджарян Техред ,ц,Олийнык Корректо Иуска 265 Тираж 395 ПодписноеГосударственного комитета по изобретениям и открытиям при Г 113035, Москва, Ж, Раушская наб., д. 4/5 ака НИИПИ Произ ств издательский комбинат "Патент", г. Ужгород, ул. Гагарина, 01