Способ воспроизведения функций одной или двух переменных и устройство для осуществления способа

Подписная группа1 бб С. А. Гинзбург СПОСОБ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ИЛИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И УСТРОЙСТВО ДЛЯ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ СПОСОБАЗаявлено 17 июля 1959 г. за,Се 634100,О 6 в 1 Сомнтет но делам изобретений н открытий нри Совете Министров СССР Онублгнсовано н Бюллетене нзооретений Л 1 за 1960 г.В известных аналоговых выч 1 слительных устройствах для воспроизведения функций одной или двух переменных, заданных в виде грас иков или таблиц, применяются диодные функциональные преобразователи, построенные на способе суммирования ломаных отрезков, или используется представление функции двух переменных функциями одной переменной. Однако существуюшис способы построения функциональных преобразователей не позволяют непосредственно и независимо настраивать и изменять апликаты функции, что ограничивает область применения этих способов,Предлагаемый способ воспроизведения функций одной или двух переменных, основанный на кусочной аппроксимации, позволяет строить функциональные преобразователи для широкого класса функций и увеличивать точность их воспроизведения, для чего функцию образуют из ряда элементарных функций (линий, поверхностей) и максимальную или минимальную из них выделяют применением логических схем ссИЛИ и ссИ. На входы этих схем подаются напряжения, изменяющиеся непрерывно, а на выходе появляются напряжения, которые равны наибольшему или наименьшему из входных напряжений.Устройство для осуществления предлагаемого спосооа отличается от известных тем, что для воспроизведения треугольной функции от каждой из двух входных переменных оно содержит функциональные преобразователи, по матричной схеме подключенные к блокам умножения, а выходы последних подсоединены к сумматору.Рассмотрим возможность изображения заданной нелинейной функции одной непрерывной переменной 1 о=Р(и) путем ее логического построения из ряда элементарных функций х(и), у(и) к(п) (в дальнейшем для простоты будем считать их линейными). Кривые, удовлетворяющие условию Р" (и) ( О или условию т " (и)О могут быть аппроксимированы касательными прямыми соответственно следующим образом:: при Р"(и),О,щчеем Р(и)= глин х,(и) х,(и 1 . х(и).При 9 ем следуощее сокращенное обозначение этих функций:-. ф"/Р,(и),ц -- Р(и); Р(и) . =Р(и)Пример построения функции вида Ри) показан на фиг, 1.Кривые с несколькими экстремумами можно синтезировать с по.мощью указанных функций и вспомогательной кривой А(и), приходящей через точки Р "(и)=0.Например, если кривая обладает тремя максимумами и двумя минимумами, то она может быть логически выражена следующим образом:Р(и):= минмакс г.,(сс), Р,(и), Рз(сс), А(сг), Р,(гс), Р.,(сг) = максминР,(и), Р,(и), А(и), Г,(и), Р,(и) Рз(и),Таким же образом можно логически образовать функцию с любымчислом экстремумов,Ниже рассматривается возможность изображения заданной функции двух переменных и=Р(х,у) путем ее логического построения изряда элементарных функций двух переменных У 1(ху) Рг(ху) Рз(х у)В простейшем случае будем считать, что эти элементарные функцииявляются линейными, то есть, (х,у) =а,х+ Ь,у+ С;Ях,у) =а,х+ Ь,у+ С;Ях, у) =а,х+ Ь,у+ Си геометрически представляются в виде плоскостей.Путем выполнения логических операций между такими элементарными плоскостями можно осуществить кусочно-плоскостную аппроксимацию заданной поверхности.В качестве примера на фиг. 2 приведена поверхность в виде пирамиды, стоящей на плоскости х, у, Если каждая из боковых граней этой пирамиды выражается функциями ,(х,у); ,(х,у); з(х,у), то вся поверхность в целом в логической форме выражается:Р(х,у)=максмт 1 п у,х,у), Ях,у), 7 з(х,у) О,В общем случае, когда функция двух переменных задана в виденекоторого числа точек в пространстве х, у,и необходимо построить кусочно-плоскостную аппроксимацию заданной поверхности, то это может быть выполнено путем соединения этих точек. В результате будут образованы треугольники (фиг. 3). Если теперь между образованными плоскостями выполнить логические операции макс и мин, то получится граненая поверхность, аппроксимирующая заданную функцию двух переменных.Сказанное выше выявляет преимущество предлагаемого способа перед известным методом суммирования для случая немонотонных функций. Значительная часть таких кривых при методе суммирования образуется как малая разность больших величин, что может приводить к неустойчивой работе схемы. При использовании предлагаемого способа разности не образуется, так как каждая точка результирующей кривой создается самостоятельно (образуется только одной из элементарных функций)Ниже описывается вариант построения устройства, реализующегопредлагаемый способ воспроизведения функций двух переменных, в ко.тором непосредственно задаются апликаты Яь 2, 2 При этом интервалы х и Ьу между заданными абсциссами и ординатами постоянны.Интерполяция осуществляется следующим образом. Текущее значение 2 внутри четырехугольника с апликатами У 1; Уг+ Л,. ,; Уг+г+ определяется как взвешенная сумма заданных апликат. При этом вес пропорционален произведению текущих координат х и у от заданной апликаты, диаметральной по отношению к взвешиваемой.Таким образом2=юг, (1=а,) (1 - 3 ) - , Л, +, (1 - а,) 1+Лг+1 аг (1 - 8 ) +Х+1+, а, (1)ох 6 угде а,= - ; 3,.=- .;Такая интерполяция приводит к необходимости образования функций а, р, 1 - а, 1 - Р и суммы произведений этих функций.Рассмотрение перехода от одного интервала к другому показывает,что указанные функции должны быть треугольными, то есть линейновозрастающими в предшествующем интервале, линейно убывающими впоследующем интервале и равными нулю во всех остальных интервалах.Обозначим эти треугольные функции 1(х) и . (у). Общую формулудля аппроксимации двух переменных прп заданных апликатах можнозаписать в следующей форме:г=ггг = пу - Е (Уг 1 г(х 1,(у) - Лг,1-,1(л 1(у) + Е,+,г,(х)г 1,(у) т (2)г: 11=1+,+1+1.г(х )1.1(1 гЯ,При любых значениях х и у все члены этой суммы, за исключениемчетырех, для которых 0(а 1; 0( 3 (1 обращаются в нучь. Оставшиеся четыре члена образуют интерполяционную формулу (1).На фиг. 4 показана структурная схема моделирования интерполяционной формулы,На схеме; 1 - функциональные преобразователи для воспроизведения треугольных функций; 2 в блоки умножения; 3 в элементы для задания апликат и 4 - сумматор, Выходы функциональных преобразователей подключены по матричной схеме к блокам умножения, а выходы последних - к сумматору.Если заданы апликаты функции для т абсцисс хг и и ординат у,.то все устройство для аппроксимации функции двух переменных потребует: и+т треугольных функций, т и блоков умножения двух переменных, столько же элементов для задания апликат и один сумматор,Электрические схемы для получения треугольных функций могустроиться на логической основе, как показано выше.С целью уменьшения числа схем умножения осуществляется кусочно-плоскостная аппроксимация функции путем применения логическихопераций выбора максимальной или минимальной пз двух величин,Поставим себе задачу осуществить кусочно-плоскостную аппроксимацию функций двух переменных.Следовательно, интерполяция между четырьмя апликатамиУг 1; Лг+11 Ег и Угг.1+, также должна быть кУсочно-плоскостной.Пусть, как и в случае интерполяционной формулы (1), апликата для1 1центра четырехугольника (х= (хг +.г+,); у, (у; - у 1+,) 3 естьсредне-арифметическая апликат его вершин, то есть= - А(+;,;,-,-Кусочно-плоскостная интерполяция получается путем соединенияпрямыми линиями точки Л, с точками Л, Л,+4+ и Л+В целом кусочно-плоскостная аппроксимация фуйкцйи двух переменныхв данном случае образуется в виде граненой поверхности, причем каждая грань представляет собой плоский треугольник, две из вершин которого определяются смежными заданными координатами, а третья -средней координатой.Кусочно-плоскостная аппроксимация заданной функции может бытьполучена путем замены в интерполяционной формуле (1) функций ар,(1 - а) р, (1 - р) а и (1 - а)(1 - р) на кусочно-плоскостные аппроксимации этих функций. При умножении двух переменных функция =аризображается поверхностью 2-го порядка, Рассмотрим аппроксимациютакой функции граненой поверхностью в пределах изменения переменных Оа -: 1, О. 1 и при условии, что в точках сс=О, р=О;1 1а - , р= - , - ; а=1, р=1 аппроксимирующая поверхность совпадает22со значениями функции "=ар.На фиг, 5 показаны координаты совпадающих точек, уравненияграней аппроксимирующей поверхности и ее вид в плане. На ребрахгрансной поверхности показано, какие логические операции (макс илпмин) должны быть выполнены между двумя соседними гранями.Можно показать, что уравнение аппроксимирующей поверхносгиможет быть выражено в следующей форме1мип(яЛ) + макс - , 3 - 1), О(3)2Обозначая приближенное умножение по формуле (3) через П(а,)и подставляя его в интерполяционную формулу (1), получим следующеевыражение для кусочно-плоскостной интерполяции,Л =Х,.П 1(х, )., (у)+Л; П(,-(х), ,(у)Л,+П(х)1(у)+Л;П 1(х), ,(у)Это выражение изображается поверхностью, изображенной нафиг. 6.При кусочно плоскостной аппроксимации функции двух переменныхструктурная схема, приведенная на фпг. 4, остается прежней, но устройства умножения приобретают другое содержание.Электрическая схема умножения по формуле (3) показана нафиг, 7, С помощью диодов 5 и б выполняется операция выбора минимального из двух напряжений а и р, Сопротивления 7, 8 и 9 служат дляобразования суммы а+ - 1. Диод 10 служит для сравнения этой суммыс нулем. Сопротивление 11 используется для суммирования результатовдвух логических операций.Независимые переменные вводятся в устройство в виде напряженийпостоянного тока. Изображаемая функция получается на выходе устройства также в виде напряжения постоянного тока.Предмет изобретения1. Способ воспроизведения функций одной или двух переменных, основанный на кусочной аппроксимации, отличающийся тем, что, с целью расширения класса воспроизводимых функций и увеличения точности их воспроизведения, функцию образуют из ряда элементарных129032 хи) хаи) хз(и) х и) Г(и/ Х 2 хз х функций (линий, поверхностей) и выделяютмаксимальную или минимальную из них применением логических схем ИИ и И.2. Устройство для осуществления способа йо й 1, от л и ч а ю щ е ес я тем, что, с целью воспроизведения функций дй переменных, оно содержит функциональные преобразователи для воспроизведения треугольной функции от каждой из двух входных переменных, блоки умножения и сумматор, а выходы функциональных преобразователей подключены по матричной схеме к блокам умножения, выходы которых подсоединены к сумматору,129032 12,2 фиг. Б Редактор Н С Кутафина Техред А. Л. Сосина Корректор Е ф. Шеар мат бум аж 1100 елам и те Министр М. Черкас при Со сква, ЦентТипография ЦБТИ Комитета по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР, Москва, Петровка, 14, Лодп. к печ 8 У 11.61 г Ф Зак. 9865 ТЦБТИ при Комитете 70 Х 108/ц Объем 0,52 изд. лЦена 11 копобретений и открытийов СССРкий пер., д. 2/6.