Прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений

,д )аса 42 т, 36,1АВТОРСКОЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО НА ИЗОБРЕТЕНИЕ М 36704 ОПИСАНИЕ прибора для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений.К авторскому свидетельству К, В. Самсонова, заявленному 2 июня 1933 года (спр. о перв,129729). О выдаче авторского свидетельства опубликовано 31 мая 1934 года.(ЭЮ 1 В многочисленных научных и технических задачах приходится иметь дело с решением системы линейных алгебраических уравнений, позволяющей вычислить и неизвестных из и соотношений, которым эти неизвестные удовлетворяют. Широкой обл.стью применения этой системы является расчет статически неопределимых конструкций, при котором число неизвестных часто доходит до 1 - 2 десятков, Но и кроме расчета статически неопределимых конструкций система линейных алгебраических уравнений играет большую роль в теории точного и приближенного интегрирования диференциальных уравнений, в решении интегральных уравнений, в теоретической физике и др.Несмотря на важную роль, которую играет вышеуказанная система в практических вычислениях, до сих пор не имеется достаточно простых методов ее решения Теория решения этой системы хорошо разработана, причем обнаруживается, что простых и быстрых способов решения не может быть. Поэтому приобретают особенно важную роль различные приближенные и механические способы решения.Одним из наиболее распространенных методов решения является метод последовательных приближении. Теория этого метода исчерпывающе изложена в статье: й. ч. М 1 зез цпй Ро 11 аслес 1 с. Оешпдег. РгаИзспе Чег 1 аЬгп бег 03 е 1 сЬцпдзацГозцпд. Уейз Ьпй й 1 г апдеюапйе М йепза 1 й цпй Месйапй" 1929 г., Вй. 9, Яейе 58 - 77 цццц 152 - 64,Метод заключается в следующем. Пусть дана система линейных уравнений: Задаются сначала некоторыми произвольными значениями неизвестных т, ж и т. д, Подставляют эти значения в первое уравнение. Это ура внение, вообще говоря, произвольными значениями неизвестных не удовлетворяется. Изменяют ж, до тех пор, пока первое уравнение удовлетворится, Это будет, очевидно, при значении т вычисляемом из выражения;Найдекйое значение х,а также значения х, хз и т. д., принятые первоначально, подставляют во 2-ое уравне, ние, Из него находят первое приближение для хр по формуле:А 21 + 2 "3 + 2х -2 8 Первые приближения х х, и при. нятые первоначально значения для хз, х 4 и т. д. подставляют в З.е уравнение.Из него находят первое приближение для х . Так продолжают до тех пор, пока не обойдут всю систему. В результате получают системупервых приближений для неизвестных х 1, х 2, х з С этой системой повторяют то же самое, что и с первоначально принятой системой, т, е. опять, обходят все уравнения и получают вто-рые приближения для неизвестных: х р х р х з и т д, С этими вторыми приближениями проделывают то же самое, что и с первыми получают третьи приближения х"х"х"з и т. д. Эту операцию продолжают до тех пор, пока поправки, вносимые в значения неизвестных, не сделаются достаточно малыми. Полученную систему приближенных значений для неизвестных принимают за решение заданной системы уравнений.Таким путем, как показывает теория, можно всегда получить решение системы уравнений при обязательном, однако, условии: диагональные члены АВС и т. д, должны быть больше остальных членов, Этому условию всегда удовлетворяют уравнения, имеющие место при расчете статически неопределимых конструкций. Кроме того, как показал.Й, ч. Мвез в вышеуказанной статье, , и произвольную систему уравненийвсегда можно превратить в систему,имеющую диагональные коэфициенты, превосходящие по величине остальнь;е коэфициенты уравнений. Таким образом, этот метод, вообще говоря, оказывается приложимым к любой системе уравнений.Предлагаемый прибор для решения; системы линейных алгебраических ура-акенкй методам пойледьаательных приближений обоснован на соотношениях, имеющих место при распределении потенциала вдоль проводов при прохождении электрического тока.На чертеже изображена схема прибора,Пусть 1, 1 - провода, между которыми имеется разность потенциалов Г А, Аз и т. д представляют со. бою катушки с большим сопровивлением, соединенные проводами, обла. дающими малым сопротивлением, с обоими подводящими ток проводами 1 - 1. Очевидно, разность потенциалов на концах этих катушек также равна К Середина каждои из катушек соединена с одним концом катушки Х соответветствую щей первому неизвестному, в то время как второй конец катушки Х, может быть соединен с одним из подвижных контактов т, двигаюшихся по катушкам АА, А и т. д. Пусть катушка Х, соединена с катушкой А, Если длина катушки А, равна а, а подвижной кон "акт сдвинут по отношению к середине катушки на величину ато разность потенциалов между серединой катушки (неподвижным контактом) и подвижным контактом будет2равна : - , Эта разность потенциаловибудет, очевидно, и на концах катушки Х,. Если длина этой катушки равна ц, а подвижный контакт сдвинут по отношению к неподвижному на величину то разность потенциалов между подвижным и неподвижным контактами будет равна - (а,), Если подвижный и неподвижный кантакт катушки Л, соединить с гальванометром, то стрелка последнего отклонится на величину, пропорциональную в(а, ,). Пусть гальванометр имеет несколько параллельных обмоток Соединив катушку В с Х и отложив на первой катушке величину 3 а на второй , получают разность потенциалов между подвижным и неподвижным контактами на каУтушке Хравную , (3, ). Очевидно, если ми ъонМкты"соединить со второйпараллельной обмоткой гальванометра.то стрелка последнего отклонится на ве-,личину, пропорциональную ; Д, г),Удг 11 гЕсли проделать то же самое с катуш-ками С, и Х, то получат отклонениестрелки гальванометра на величину,пропорциональную - , (т, з), Если пред-Уположить что подвижной контакт катушки Д, сдвинут по отношению к неподвижному на величину 8 и оба этиконтакта соединены с очередной параллельной обмоткой гальванометра непосредственно, то стрелка гальванометрадолжна отклониться на величину - ,.УОтклонение стрелки гальванометра,вызванное всеми вышеуказанными причинами, будет про орционально выражению: аг (1 11+ 11г+ Т 1 1 з+ф 1)Если подобрать ,г, так, чтобы ток в гальванометре сделался равным нулю, то, очевидно, эти величины будут удовлетворять уравнению:ф 1 11+ 1 1 +т, ". +а о =о.Если отложить аи о, так, чтобы они в некотором масштабе изображали коэфициенты и свободный член .АВ С Я, первого уравнения, то вели чины , г с будут соответствовать неизвестным в заданной системе уравне-Мнии, При произвольных значениях ве.личин сгможно, очевидно, добиться того, чтобы суммарный ток в гальванометре сделался равным нулю, путем перемещения контакта на катушке Х т. е. измененияПрисоединяют, далее, катушки ХХ, Х . к катушкам Аг, В, С на которых отложены коэфициенты 2-го уравнения, Путем перемещения контакта катушки Х, добиваются того, чтобы ток в гальванометре сделался равным нулю, Это будет соответствовать соотношению:г г+1 г 1,+Тг Вг+Ог=О. Эту операцию повторяют до тех пор, поа присоединение к гальвано метру любого уравнения не 5 дет вызывать никакого тока, т. е, стрелка будет оставаться в покое. Найденные таким образом величины ,будут давать в некотором масштабе значения неизвестных, удовлетворяющие заданной системе уравнений. Чтобы получить численную величину неизвестных хжжз надо величины , г С умножить на не. которую постоянную, которая, очевидно, может быть для прибора определена заранее,Для успешности работы прибора необходимо, чтобы сопротивление проводов, подводящих ток к катушкам, было очень малым (доли процента от сопротивления катушек), сопротивление же каждой обмотки гальванометра должно быть достаточно большим - в несколько раз больше сопротивления катушек. При несоблюдении второго из этих условий может случиться, что приключение гальванометра вызовет перераспределение потенциала на катушках ХХг, Х, что приведет к неверным показаниям Оба требуемые условия могут быть легко выполнены,По опытам изобретателя в качестве сопротивления лучше брать не катушки, а голый провод, который можно согнуть в виде спирали, и подвижной контакт приводить в движение вдоль этой спирали вращением рукоятки, Такая катушка займет очень мало места и прибор можно будет сделать достаточно компактным.Сопротивление же каждой обмотки гальванометра надо довести до 200 - 250 ом. Гальванометр должен быть сделан с вращающимся магнитом и постоянными катушками, так как вращающаяся катушка в данном случае должна бы иметь несколько параллельных обмоток, что неудобно для конструктив. ного осуществления,П редмет изобретения.Прибор для реше. ия системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений, Отличающийся применением некоторого числа групп одинаковых, включенныхпаралледью в электрическую сеть 1, 1 сопротивлений ААА ВВ, В , СССЗ, средние точки которых в каждой группе присоединены к началу таких же сопротивлений Х, Х 2, Хз. , концы коих через пе. реключатели присоединены к подвижным контактам сопротивлений АА ВВ 2, СС 2, причем средние точки сопротивлений ХХХ в свою очередь, соединены каждая с началом соответствующей обмотки, гальванометра с несколькими обмотками, концы которых соединены с соот. ветствующим контактом лт сопротивлений ХХХ , каковые сопро,СС, С слуиа даю аыучееа на концах сопрбтивлений Х Х Х, разностей потенциалов, пропорциональ. ных коэфициентам при неизвестных, а со. ротивления ХХ, Х - для отыскания величин разностей потенциалов, пропорциональных неизвестным уравнений, при пользовании добавочным рядом включенных параллельно же в сеть сопротивлений ДЯт, Аасредние точки и подвижные контакты и которых соединены через переключатель с отдельной обмоткой того же гальванометра и которые служат для приложения к обмотке гальванометра разностей потенциалов, пропорциональных свободным членам уравнений.