Устройство для моделирования

331409 Союз Саеетскиа Социалистические Ресл 1 ебликОПИСАНИЕИЗОБРЕТЕН ИЯК АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУЗависимое от авт. свидетельства М -Заявлено 05.1.1970 ( 1390713/18-24)с присоединением заявки1424769/18-24Приоритет -Опубликовано 07.11.1972. Бюллетень М 9Дата опубликования описания 17 Л. 1972 Ч 1 х 606 о г 68 Коыитет ло делаи изобретений и отнрваюй ори Совете Министров СССРУДК 681.333 (088,8) т:.:;:К. К. Керопян, Г. В. Караянакое а Авторыизобретснця Заявитель УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОН ЕЧ НО-РАЗНОСТН ЬХ О 1 ЕРАТОРОВ ДИФФЕРЕН ЦИАЛ ЬН ЫХ УРА ВН ЕН И Й Изобретение относится к области аналоговой вычислительной техники.Известны трансформаторные модели, которые решают оистемы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей. Однако сложность изготовления трансформаторов со значительным числом обмоток, каждая из которых снабжена большим числом отводов для набора различных значений коэффициентов, а также погрешности, обусловленные нелинейностью трансформаторов, снижают практическую ценность таких моделей.Известные устройства на реактивных элементах решают поставленную задачу без пре 1- варительной ее подготовки. Однако в этих схемах имеет место следующее, Если решает"я система, матрица которой содержит значительное число положительных и отрицательных элементов, то в моделирующей матрицу электрической схеме соответственно будет содержаться значительное число емкостных и индуктивных проводимостей. Изготовление индуктивности с высокой добротностью представляет достаточно сложную задачу, а использование индуктивностей с низкой добротностью приводит к значительным погрешностям в результатах моделирования. С другой стороны, промышленностью выпускаются емкостные проводимости с малым углом потерь, что позволяет применять их для моделирования. Указанное можно устранить, если построить моделирующую схему с минимальным числом цндуктивностей, заменив, где это возможно, индуктивность емкостью.5 Известна также квазианалоговая модельдзета-аналог, которая содержит одно или два квазцотрицательных сопротивления на одно неизвестное ц требует обязательного предварительного аналитического приведеция за данной матрицы к матрице с неотрицательными элементами, При достаточно высоком порядке матрицы, эта операция трудоемка и продолжительна, Кроме того, приведение матрицы системы к матрице с неотрицательными 15 коэффициентами зачастую повышает порядоксистемы уравнений на величину, близкую к числу отрицательных элементов исходной матрицы.Расширение матрицы не происходит только 20 в одном частном случае, когда речь идет оматрицах, у которых знаки соседних слагаемых в каждой строке различны, что является основной причиной того, что дзета-аналог па постоянном токе и не может быть непосред ственно применен (без введения добавочныхотрицательных параметров в схему) для построения электрических моделей конечно-разцостных операторов (дифференциальных уравнений), содержащих различные знаки цобоч ных коэффициентов. К ним относятся конечноразностные операторы бигармопических уравнений, описывающих анизотропные, ортотро 1- ные, изотропные плиты, оболочки находящихя под воздействием сложных систем нагрузок и ряд других операторов.Поставленные задачи на известном дзетааналоге могут быть решены лишь после предварительного аналитического составления всей оистемы алгебраических уравнений (на основе заданного конечно-разностного оператора) с последующим ее приведением к матрице с неотрицательными коэффициентами. Только после этих трудоемких операций можно решать систему на упомянутой модели.Целью предлагаемого устройства являет "я ооздание электрической модели системы алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, работающей на постоянном токе, что открыло бы широкие возможности модЕЛИрОВацня СЛОжцЫХ И ВажНЫХ ИНжЕНЕрць)Х задач теории упругости, а также в других областях техники путем построения сеточных моделей многочисленных симметричных и несимметричных конечно-разностцых оператор зв дифференциальных уравнений и, кроме того, создание электрической аналоговой модели ца переменном токе для решения системы линейных алгебраических уравнений с про(цзволыгой неособенной матрицей, содержащей минцмал.- ное число ицдуктивностей, что обеспечило бы широкие возможности моделирования актуальных инженерных задач путем построения сеточных моделей многочисленных симмстр(нных и несимметричных конечно-разцостцых операторов дифференциалы(ык уравнений.Расширение круга решаемых задач в предлагаемом устройстве достигается тем, что в нем одноименные узлы верхней и нижней пары сеток соединены проводимостями, моделирующими главные коэффициенты матрицы, каждый узел первой и четвертой сеток обеих пар соединен, в зависимости от знака, со всеми узлами второй и третьей сеток проводимостям:1, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а между одноименными узлами первой и четвертой сеток введена компенсирующая проводи мость.На фиг. 1 приведена принципиальная схема предлагаемой электрической модели на активных проводимостях ьо, д и системы двух линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, тумблеры Т) и Т 2 служат для учета знаков побочных коэффициентов аи и имеют три положен)(я, причем среднее полокение соответствует аи, ца фиг, 2 приведена принципиальная схема предлагаемого устройства на активных проводимостях для моделирования конечно-разцостного опратора дифференциального уравнения к-го порядка, содержащего четные и нечетные производные; на фиг. 3 предложена схема устроцства ца емкостных проводимостях для моделирования конечно-разностного оператора дифференциального уравнения к-го порядка.Нике описана электрическая модель ца ак тивцых проводимостях для решения системы линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, которая не требует предварительной подготовки матрицы си стемы, подобной вышеизложенному, и содержащей только одно квазиотрицательное сопротивление на каждое неизвестное.Поясним работу модели на примере решениясистемы двух уравнений. Пусть дана система О уравненийах)+а 2 х 2= Ьа 2).ъ 1+а 22 2 = Ь 2 (1)определитель которой не равен нулю. На фиг.1 показана схема электрической модели систе мы уравнений (1). Эта схема состоит из сдвоенных симметрично расположенных пр(оводимостей д и ди пропорциональных коэффиц(иентам матрицы а и аи тумблеров Т), Т 2 для учета знаков побочных коэффициентов 20 а и, двух источников токов 11, 12 для заданияправой части системы уравнений (1) и двух источников э. д. с. Е и Е) для создания отрицательных проводимостей да, да .На основании первого закона КИрхгофа за писываем уравнение токов для двух двойныхузлов аа и ЬЬ: Ка - У)сс1 с-ассс-сг ) дгссс2 гп 1=0 л УЕ )йгс -, - -,1=0 22,- .Уп 2 пп Есс Кгггс 1 1 1 сс- - сггс,оссг =21 и сс: - 1д сс - авгиГДЕ 1 И 1 аМаСШтж ен-ийО 1 с г= а; - .иабы токов и напряВеличины источников э.д,с Е, и Еа регулируются так, чтобы напряжения 1 а и 1 п обратились в нуль. При этом условиями создается эффект отрицательного сопротивления.Таким образом, схема (см. фиг. 1) является моделью системы двух линейных алгебраических уравнений с произвольной неособенной матрицей, побочные элементы которой имеют различные знаки. Очевидно, что все изложенное распрастраняется на систему с большим числом уравнений. Действительно, пусть имеем систему л-го порядка:агЛ 1+а 12 Х 2ал Хп 6а 2 х +022 х 2++а 2 л гг 62 (9) ап 1 с 1 +ал 2 Х 2+" +алгссп 6 лУравнение (2), (3), (4) для узлов аа, 66, п 1 г запишется так:ь гспУзловыс токиУ Уг,- /,12 6 п.Уи == - 1,2По кажем теперь, что на основе вышеописанной модели легко строится сеточная модельнесимметричного конечно-разностного оператора дифференциального уравнения Й-го порядкаВ ЧаСтНЫХ ПрОИЗВОдНЫХ ОтдВуХ ПЕрЕгМЕННЫХХ,у.При этом не требуется предварительно понижать порядок дифференциального уравнения25 или делить ее на части, как это до сих пор делается (1), (2), (3).Пусть имеется дифференциальное уравнениеЙ-го порядка, содержащее четные и нечетныепроизводные, конечно-разностный оператор которого в общем случае имеет вид:,Ч - постоянный множитель;4 О 1 с - поРЯДок Оператора,6 - шаг сетки оператора;В - правая часть;Р; - значение функции в точке 1;1, 2 е, г - нумерация точек оператора.На фиг. 2 показана электрическая модельданного оператора, состоящая из четырех сеток (а, б, в и г), между которыми включенывертикальные и перекрести ые проводимостисогласно основной схеме. В устройстве (см.;,о фиг. 2) одноименные узлы (1 - 2 и 3 - 4) двухпар сеток а - б и в - г соединены проводимостями 5, моделирующими главные коэффициенты матрицы. Каждый узел 1 и 4 обеих пар сеток соединен со всеми узлами второй (б) ию третьей (в) сеток проводимостями 6, моделирующими побочные коэффициенты матрицы,а между одноименными узлами первой (а) ичетвертой (г) сеток включена компенсирующа я проводи м ость 7.60 Легко видеть, что уравнение (12) после сведения е, к нулю, записанное для узла 00, принимает вид:(18) ьо =; До-о" , -Уо г" 2Знак минус коэффициеи гов А; учитывается перекрещиванием концов соответствующих проводимостей, примыкающих к узлам 1 и 1, согласно схеме (см. фиг. 1). Приведенная на фиг. 2 четырехсеточная модель несимметричного конечно-разностного опера гора Й-го порядка в литературе неизвестна и является следствием предлагаемой модели системы линейных алгебраических уравнений. Данная модель может найти применение при решении бигармонических задач теории упругости и в других областях техники.Для симметричного конечно-разностиого оператора модель упрощается: вместо четырех сеток остаются две сетки с вертикальными и перекрестными проводимостями. Заметим, что симметричный конечно-разностный оператор аппроксимирует дифференциальное уравнения А-го порядка, содержащие только чстныс производные, К таким уравпсниям, например, относятся бигармонические уравнения теории упругости без учета объемных сил в декартовых координатах. Бигармоническое уравнение в полярных координатах содержит нечетные производные и, следовательно, конечно-разностный оператор несимметричен. Б этом случае он моделируется по схеме фиг. 2.Легко видеть, что вышеизлокенное может быть распространено па конечно-разпостный оператор дифференциального уравнения от трех переменных х, у, г и т. д. На фиг. 3 показана электрическая модель несимметричного5 конечно-разностного оператора дифференциального уравнения Й-го порядка, содержащего четные и нечетные производные с применением емкостных проводимостей. Это устройство отличается от ранее рассмотренного тем, 10 что активные проводимости (см. фиг. 1) заменены емкосгными проводимостями, а узловые проводимости - индуктивными, Благодаря этому устраняются квазиотрицательное сопротивление и процесс его настройки, а число индук тивных проводимостей сводится к минимумч.Предмет и зоб ретен и яУстройство для моделирования конечно-раз постных операторов дифференциальных уравнений Й-го порядка и систем алгебраических уравнений с произвольной неособенной магрицей, содержащее сетки из проводимостей и подключенные к ним источники питания, моде лирующие коэффициенты матрицы и свободпые члены уравнений, отличающееся тем, что, с целью расширения круга решаемых задач, в нем одноименные узлы двух пар сеток соединены проводимостями, моделирующими глав ные коэффициенты матрицы, каждый узел первой и четвертой сеток обеих пар соединен со всеми узлами второй и третьей сеток проводимостями, моделирующими побочные коэффициенты матрицы, а между одноименными узлами первой и четвертой сеток включена компенсирующая проводимость.40331409 Составитель Е, Тимохинадактор А. Батыгин Техред Л. Евдонов Корректор Т, Миронов бластная типография Костромского управления по печати Заказ,1455ЦНИИПИ Комитета п зд.301елам изобретений осква, Ж, Рауш Тираж 448 Подписчое.ткрытий при Совете Министров СССР я иаб., д. 4/5