Устройство для решения систем алгебраических уравнений

(11)Й 51665 О П И С А Н-И-Е ИЗОБРЕТЕНИЯ Союз Советских Социалистических Республик(45) Дата опубликования описания 13.06,77) М 1(т 2 606 б 7/46 Гасударственный комитет Совета Министров СССР по делам изобретений и огкрытий(71) Заявитель нститут электродинамики АН Украинской СС(54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ е20 Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в вы - числительных устройствах, предназначенных для решения шиоокого класса систем алгебраических уравнений. 5Известно устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержашее матрицу оезистооов и блоки уравновешивания, выполненные в виде операционных усилителей постоянного тока. Это устройство устойчиво решает такие системы линейных алгебраических уравнений, у которых квадратная матрица коэффициентов имеет все собственные значения с положительной вещественной частью. 15Известно также двухзвенное устройство для решения систем алгебраических уравнений, в котором используются две матрицы резисторов и блоки уравновешивания в вид операционных усилителей. Однако примене ние таких устройств ограничено тем, что уровни рабочих напряжений значительно ниже уровней напряжений, допустимых по техническому паспорту используемых операционных усилителей. 25 Наиболее близким к изобретению техническим решением является устройство длярешения систем алгебраических уравнений,содержащее блоки уравновешивания и матрицу резисторов, гооизонтальные шины которой через соответствующие источники токасоединены с шиной нулевого потенциала, авертикальные шины соединены с входамисоответствующих повторителей.Этому устройству свойственны функциональная ограниченность, ь связи с решениемсистем линейных алгебраических уравненийтолько с квадратными матоицами.Цель изобретения - расширение классарешаемых уравнений,Это достигается тем, что в устройстведля решения систем алгебраических уравнений каждый блок уравновешивания содержитрезисторы и операционные усилители, в обратной связи первого из которых включеныпараллельно две цепочки последовательносоединенных масштабных резисторов, обшаягочка масштабных резисторов первой пз указанных цепочек соединена через первый согласуюший резистор с выходом соответствующего повторителя и через входной масштабный резистор - с входом второго операционного усилителя, в обратной связи котороговключена цепочка из последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точкакоторых соединена с обшей точкой масштабных резисторов второй цепочки первого операционного усилителя, выход второго операционного усилителя через второй согласующий резистор соединен с входом соответствуюшего повторителя.На чертеже приведена схема предлагаемого устройства для решения систем алгебраических уравнений,Предлагаемое устройство содержит мат- Ирицу резисторов 1, повторители 2, блокиуравновешивания 3 с положительными коэффициентами передачи, согласующие резисторы 4 -4 и источники тока 5 для задания вектора правых частей, Каждый блок 20уравновешивания 3 состоит из двух операционных усилителей 6, масштабных резисторов 7 с единичными проводимостями, входного масштабного резистора 8 и двух масштабных резисторов 9, проводимость которых Блок уравновешивания 3 имеет лолокительный коэффициент передачи равный Ь,Матрица резисторов 1 моделирует матрицукоэффициентов А решаемой системы линейных алгебраических уравнений,30В установившемся режиме для моделисправедливы следующие уравненияиа- й- проводимости резисторов 42 и 43,а - коэффициенты матрицы исходного матричного уравненияАх=1 сл)Уравнения (1) удобно представить в матричном виде Цу-Ах+ 1=О(3)Сб+а)х-А у-аФ=О,тФ=Эх, (5)где Ц и 5 - диагональные матрицы,элементы которых представляют собой сумму элементов соответственнострок и столбцов матрицы А;А - транспонированная матрица А;а - диагональная матрица проводимостей резисторов 424 Ь - диагональная матрица коэффициентом передачи блоковуравновешивания 3; у, х, ф - векторы, соответственно сс компонентамих - х 1 Т напряжения на горизонтальных шинах матрицы резисторов 1;напряжения на вертикальных 50 шинах матрицы резисторов 1, где и и гп - соответственно число верти-, кальных и горизонтальных шин (в общем случае и 55 может быть не равно тп ); токи источников 5;напряжение на выходеблока уравновешивания 3= 1,2" и); 60 Таким образом, предлагаемая схема описывается уравнением (9). Здесь матрица Я представляет собой матрицу собственных проводимостей узлов у 1 и поэтому является диагональной матрицей с положительными элементами, при этом матрицатА Д А будет положительно определенной, следовательно схема устройства будет устойчивой и дает решение. В случае квадратной неособенной матрицы А это решение единственно, и оно будет найдено схемой даже при плохой обусловленности матрицы А. Для доказательства умножим уравнетние (9) слева на матрицу ( А Ц А ) и получим Х=А Я(АГ А Ц 1 = А 1, т,е, получим решение системы уравнений (1), Если система уравнений (1) переопределена(тп ) ъ, матрица А является прямоугольной), предлагаемая схема дает единственное решение, причем это решение является наилучшим, минимизирующим сумму квадратов модулей невязок уравнений (1). Наилучшее р решение переопределенных систем получают, применяя левую трансформацию Гаусса(10) А Ах=А 1 Уравнение можно трактовать следующимобразом, Исходное уравнение (1) умножаемна диагональную матрицу ц Я Ах=Я 1,20 Это тождественное преобразование, которое не изменяет множества решений системы уравнений (1). Поэтому если (11) умнотжить на А, то решение полученного таким образом уравнения (9) будет совпадать с 25 решением уравнения ( 1 О ), которое является наилучшим.Покажем, что благодаря специальному включению резисторов 7, 8 и 9 и операционных усилителей 6 блок уравновешивания 3 30 является устойчивым. В динамическом режиме с учетом паразитных емкостей усилителей С схема блока уравновешивания описывается системой дифференциальных уравнений35+С Вй ВЕ= С В М 1, (12)4 Ф, к+ где напряжение на входах усилителей;М - диагональная матрица собственных проводимостей узлов бло фка 3;К - коэффициент усиления операционного усилителя при разомкнутой обратной связи.Для устойчивости блока уравновешивания, О а следовательно и предлагаемого устройстт 4 ва необходимо, чтобы матрица С В й В имела собственные числа с положительными вещественными частями. Так как матрицаС является диагональной с положительны ми элементами, для этого достаточно, чтобытматрица В М В была положительно определенной, Это условие выполнено, так как,(матрица К является диагональной с положительными элементами. Поэтому блоки уравновешивания 3 являются устойчивыми.Предлагаемое устройство в отличие от известных устройств аналогичного назначения позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений как с квадратными, так и с прямоугольными (с переопределенными, т.е, пт 1 ) матрицами коэффициентов, Эта особенность позволяет применить предлагаемое устройство вместо ЦВМ при проектировании таких технических систем, зависимость между параметрами в которых имеет вид переопределенной системы линейных алгебраических уравнений, Технико-экономический эффект применения предлагаемого устройства определяется его низкой стоимостью, значительной экономией машинного времени ЦВМ и непринципиальностью исключения БВМ, в связи с не очень высокими требованиями по точности определения параметров технических систем на стадии проектировочных расчетов.формула изобретенияУстройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее блоки уравновешивания и матрицу резисторов, горизонтальные шины которой через соответствующие источники тока соединены с шиной нулевого потенциала, а вертикальные шинысоединены с входами соответствующих повторителей, о т л и ч а ю ш е е с я тем,что, с целью расширения класса решаемыхуравнений, в нем каждый блок уравновешивания содержит резисторы и операционныеусилители, в обратной связи первого из которых включены параллельно две цепочкипоследовательно соединенных масштабныхрезисторов, общая точка масштабных резисторов первой из указанных цепочек соединена через первый согласующий резистор свыходом соответствующего повторителя ичерез входной масштабный резистор - с входом второго операционного усилителя, в обратной связи которого включена цепочкаиз последовательно соединенных масштабных резисторов, общая точка которых соединена с обшей точкой масштабных резисторов второй цепочки первого операционногоусилителя, выход второго операционногоусилителя через второй согласующий резистор соединен с входом соответствующегоповторителя,551665 Г оставитель О. СахароТехред О, Луговая орректор А. Власенк го комит иэобрете СССР ква,лиал ППП "Патент", г. Ужгород, ул. Проектная, 4 едактор Е, Гончааказ 126/27ЦН Тираж 90Государственн по делам 113035, М Подписное та Совета Мицистро ий и открытий 5, Раушская наб., д